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Action d'un groupe fini sur R^n



  1. #1
    doudache

    Action d'un groupe fini sur R^n


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai entendu dire qu'il n'existait pas d'action libre d'un groupe fini sur Rn (autre que l'action du groupe trivial).

    Ça me paraît assez surprenant, mais en essayant de construire de telles actions sur R, je me suis dit que le résultat devait être vrai. L'ennui, c'est qu'il n'y a aucune autre hypothèse topologique sur G, ce qui m'empèche d'appliquer des théorème de points fixes...

    Si quelqu'un a une idée, je veux bien en profiter ! Merci !

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  4. #2
    Sylvestre

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Citation Envoyé par doudache
    Bonjour à tous,

    J'ai entendu dire qu'il n'existait pas d'action libre d'un groupe fini sur Rn (autre que l'action du groupe trivial).

    Ça me paraît assez surprenant, mais en essayant de construire de telles actions sur R, je me suis dit que le résultat devait être vrai. L'ennui, c'est qu'il n'y a aucune autre hypothèse topologique sur G, ce qui m'empèche d'appliquer des théorème de points fixes...

    Si quelqu'un a une idée, je veux bien en profiter ! Merci !
    Salut,

    Est-ce que action libre veut dire que pour tout g différent du neutre et tout x de Rn alors ?
    Je pense qu'il suffit de le montrer pour les groupes cycliques finis .
    J'aimerais bien réussir à montrer que l'action du 1 est conjuguée à une rotation d'angle . Dans ce cas, il n'y aurait plus qu'à utiliser le théorème de Brouwer. Mais je ne vois pas encore comment faire, ni même si mon intuition est correcte.

  5. #3
    doudache

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Oui, c'est bien la définition pour moi d'une action libre.

    On peut même se ramener au cas n où est premier.

  6. #4
    indian58

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Mais si on se place sur la sphère unité et qu'on considère le groupe engendré par la rotation d'un certain axe (passant par l'origine) et d'angle rationnel??

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  8. #5
    Sylvestre

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Citation Envoyé par indian58
    Mais si on se place sur la sphère unité et qu'on considère le groupe engendré par la rotation d'un certain axe (passant par l'origine) et d'angle rationnel??
    Non, mais dans cas, le groupe n'est certainement pas fini.

  9. #6
    GuYem

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Citation Envoyé par Sylvestre
    Salut,

    Est-ce que action libre veut dire que pour tout g différent du neutre et tout x de Rn alors ?
    Je vais peut-être dire une bétise :

    Pour moi libre ça veut dire que le morphisme de G dans bij(R^n) auquel donne naissance l'action est injectif.
    Dans ce cas ça signifie : pour tout g différent du neutre, il existe x dans R^n avec g(x) différent de x.

    Ce qui est beaucoup moins contraignant que ce que tu dis Sylvestre.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

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  11. #7
    doudache

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Citation Envoyé par GuYem
    Pour moi libre ça veut dire que le morphisme de G dans bij(R^n) auquel donne naissance l'action est injectif.
    Dans ce cas ça signifie : pour tout g différent du neutre, il existe x dans R^n avec g(x) différent de x.
    Pour moi ça c'est une action "fidèle". Je crois qu'il y a beaucoup de définitions différentes, mais le cadre dans lequel je me place, c'est celui ou aucun élément (hormis 1) n'a de point fixe.

  12. #8
    GuYem

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Ah oui je suis d'accord avec toi. Je confonds un peu tous les termes !
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  13. #9
    doudache

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    En fait j'ai l'impression que c'est faux si le groupe n'agit pas continuement. Par exemple, en prenant prends R+ et R-\{0} qui forment une partition de R ; puisqu'ils ont même cardinal on
    les envoie bijectivement l'un sur l'autre par via une fonction h, et on peux définir un élément d'ordre 2 en posant g(x) = h(x) ou h-1(x) suivant que x est positif ou négatif. Et g n'a pas de point fixe, ce qui prouve qu'il existe des actions de Z/2Z sur R qui sont libres

  14. #10
    Sylvestre

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Citation Envoyé par doudache
    En fait j'ai l'impression que c'est faux si le groupe n'agit pas continuement. Par exemple, en prenant prends R+ et R-\{0} qui forment une partition de R ; puisqu'ils ont même cardinal on
    les envoie bijectivement l'un sur l'autre par via une fonction h, et on peux définir un élément d'ordre 2 en posant g(x) = h(x) ou h-1(x) suivant que x est positif ou négatif. Et g n'a pas de point fixe, ce qui prouve qu'il existe des actions de Z/2Z sur R qui sont libres
    Oui, c'est vrai. C'est rigolo. Mais, à mon avis, lorsque l'on parle d'action sur Rn, on parle d'action continue, car sinon on parlerait d'action sur un ensemble quelconque ayant la puissance du continu.

  15. #11
    homotopie

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Bonjour,
    il faut évidemment supposer une propriété de plus que le cardinal de R^n. En effet, il est trivial de construire une action libre sur un ensemble de plus grand cardinal. On fait : où G opère sur G par produit et trivialement sur E qui est un ensemble du cardinal voulu. On peut ensuite recoller type action d'un cyclique sur un cercle, action d'un produit de deux cycles sur un tore...
    Deux voies naturelles possibles pour caractériser le fait que c'est bien R^n :
    l'action est linéaire, c'est alors trivial le barycentre des est un point fixe de G.
    l'action est continue. J'ai une preuve malheureusement non élémentaire (j'ai essayé de simplifier mais ce n'est pas abouti).
    Si l'action de G est libre sur R^n alors on a un revêtement de fibre G (galoisien) :
    G->R^n->>R^n/G.
    R^n étant simplement connexe ce revêtement est un revêtement universel. Or le revêtement universel d'un groupe fini n'est pas contractile contrairement à R^n, ce qui contedit l'unicité des revêtements universels.
    Elément de preuve de ce dernier point pour les cycliques (ce qui suffira ici)
    Z/2Z->S^2->RP^2 est le revêtement universel de Z/2Z.
    De manière générale, on colle n disques par leur bord sur un cercle pour l'espace total, on envoie sur la base en faisant tourner n fois le cercle équateur. L'espace total est simplement connexe mais son deuxième groupe d'homotopie est par contre non trivial.

    Cordialement

  16. #12
    doudache

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Salut !

    Je ne comprend pas trop : R^n -> R^n/G est le revêtement universel de R^n/G, pas de G ? G c'est le groupe fondamental de R^n/G. Ca me dit aussi que R^n/G est un K(pi,1) mais comment ça me renseigne sur G ?

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  18. #13
    homotopie

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Citation Envoyé par doudache
    Salut !

    Je ne comprend pas trop : R^n -> R^n/G est le revêtement universel de R^n/G, pas de G ? G c'est le groupe fondamental de R^n/G. Ca me dit aussi que R^n/G est un K(pi,1) mais comment ça me renseigne sur G ?
    Oups
    J'ai confondu le revêtement universel et le de-looping (BG avec
    A que ça ne tienne, R^n/G ne peut pas être un K(G,1) car un tel K(G,1) a des cellules de dimensions aussi grandes que l'on veut. Exemple : B(Z/2Z) est

  19. #14
    homotopie

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Citation Envoyé par doudache
    Salut !

    Je ne comprend pas trop : R^n -> R^n/G est le revêtement universel de R^n/G, pas de G ? G c'est le groupe fondamental de R^n/G. Ca me dit aussi que R^n/G est un K(pi,1) mais comment ça me renseigne sur G ?
    Oups
    J'ai confondu le revêtement universel et le de-looping (BG avec
    A que ça ne tienne, R^n/G ne peut pas être un K(G,1) car un tel K(G,1) a des cellules de dimensions aussi grandes que l'on veut. Exemple : B(Z/2Z) est
    Pas très convaincant quand on ne connaît pas , j'essaie de trouver un résultat plus connu montrant le résultat.

  20. #15
    doudache

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    C'est un peu technique pour moi... Est-ce que tu peux définir les notions que tu utilises ? Ou me renvoyer vers une bonne référence ? Merci !

  21. #16
    indian58

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Citation Envoyé par Sylvestre
    Non, mais dans cas, le groupe n'est certainement pas fini.
    Si, c'est un groupe fini.

  22. #17
    homotopie

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Citation Envoyé par doudache
    C'est un peu technique pour moi... Est-ce que tu peux définir les notions que tu utilises ? Ou me renvoyer vers une bonne référence ? Merci !
    est construit comme limite des inclusions des sphères de dimension croissante : le cercle est l'équateur de la sphère classique qui est l'équateur de la 3_sphère... Au fur et à mesure on détruit le groupe d'homotopie de rang n. La limite a des groupes d'homotopie tous triviaux, or c'estun CW-complexe (espace fabriqué en collant des disques pour ceci, en gros, les groupes d'homotopie définissent entièrement l'espace) donc est contractile. Or Z/2Z agit sur toutes les sphères par une action compatible avec les inclusions. En prenant la limite des projections on obtient Or l'espace du milieu est contractile, l'holonomie est une équivalence d'homotopie, l'espace des lacets de la base est homotope à la fibre, on a "de-looped" celle-ci.
    En gros, on ne peut pas à la fois avoir groupes d'homotopies triviaux à partir d'une certaine dimension et groupes d'homologie triviaux à partir d'une certaine dimension, les seules exceptions sont les produits de cercle. Ceci étant du au fait que les sphères de dim>1 (espaces de base pour l'homologie finie) a des groupes d'homotopie non triviaux pour des dimensions aussi grandes que l'on veut, .
    Ici le revêtement construit à partir de G informe que les groupes d'homotopie sont triviaux au dela de dim=1. R^n/G a des groupes d'homologie nuls au dela de dim=n. R^n/G est un cercle ou un produit de cercle, or les groupes fondamentaux de ces derniers sont infinis.
    Pour les références malheureusement ce sont de vieux souvenirs, désolé.

  23. #18
    homotopie

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Le retour (quand même, ce "classique" n'avait pas le droit de résister )
    Je me limite au cas G=Z/nZ qui est suffisant pour le résultat voulu.
    a été remplacé par : je me suis rendu compte de la double utilisation de n après. J'ai peut-être oublié de faire un ou plusieurs changements (je pense que la confusion n'est guère possible)
    Plan de la démo :
    A) Montrer que est de degré infini
    a0) Pour cela on va exhiber le squelette de dimension 1 de
    a1) détermination explicite du revêtement universel , calcul de sa cohomologie
    a2) exhiber comme fibre de l'application de E1 dans
    a3) montrer le résultat annoncé
    B) A l'aide d'un squelette adapté montrer que est de degré fini
    A et B sont en contradiction, montrer A et B suffit donc à montrer l'impossibilité.

    A)
    a0) S'il y a une action libre de G sur , on a le revêtement universel , d'où où c est un lacet de , désormais écrit aussi B
    p.c est homotopiquement trivial, il existe donc une application j : disque -> B tel que son bord soit égal à p.c.
    E1 est l'espace formé par un cercle et d'un disque D1 dont on a collé le bord sur le cercle en faisant p tours de manière uniforme (z-> z^p si le cercle est vu comme le cercle unité de C). Cette application de collage est notée
    Vu ce qui précède (existence et définition de c et j) on a une application f1 : E1 -> B tel que soit un iso entre les deux groupes fondamentaux. E1 est le "1-squelette" de B.
    a1) est l'espace formé en collant sur un même cercle n disques où le collage pour est
    On surjecte sur en identifiant les cercles et les disque D1 et et est .
    C'est une simple généralisation de (c'est moins joli, c'est tout). On vérifie facilement que cette application est un revêtement : pour un point intérieur au disque D1 c'est trivial, pour un point sur le cercle il suffit de dessiner un cercle avec n morceaux collés bout à bout, un petit disque de E1 se réplique en n petits disques de , on écrit proprement le "bazar" et c'est fini.
    Ce qui a de commode ici, c'est que c'est un complexe cellulaire, on peut donc facilement calculer son homologie sur Z.
    degré 0 : c'est connexe par arcs donc
    degré 1 : un lacet donc fermé et qui est un bord ("n fois") donc
    degré 2 : n disques ayant même image (une rotation est homotopiquement trivial, ce qui ne veut pas dire que lorsqu'on recolle après avoir tourné ça le soit). cette image de surcroît ne se "divise" pas. On a .
    degré >2 : pas de cellules.
    L'homologie est libre donc iso à sa cohomologie.
    A remarquer que la suite d'homotopie indique que s'injecte dans Z/nZ donc est abélien donc iso au qui est trivial, c'est le revêtementuniversel de E1.
    A remarquer que est donc non trivial (Z^(p-1)), la torsion crée de l'homotopie en degré supérieur.

    a2)
    On a deux applications g : et .
    On prend le pull-back : {}, topo induite par l'inclusion dans le produit. On a deux applications
    g'1 : E'1->R^{n'} ; g'1(x,y)=x
    et p' : E'1 -> E1 ; p'(x,y)=y
    telles que pog'1=g1op' , autrement dit on a un carré commutatif.
    p est un revêtement donc une fibration p' est donc une fibration (ça se démontre "tout seul", une homotopie I.espace dans B se relève sur R^n ce qui donne immédiatement le relèvement voulu dans E'1, puisque dès le départ on a I.espace dans E1)
    Deux propriétés :
    i) La fibre homotopique de p' est donc G (union disjointe de points). E1 est connexe par arcs, E'1 est donc connexe par arcs (cas particulier de relèvement d'homotopie), la suite d'homotopie nous dit donc que se surjecte sur , c'est donc un iso ; i.e. , ou encore p' est un revêtement universel à homotopie près. E'1 et sont donc homotopes.
    ii) est contractile donc E'1 est la fibre homotopique de g1.
    de i et ii, on en déduit que l'on a une fibration .
    Un peu de prudence, est non trivial donc agit sur mais il n'y a pas d'autre action que la triviale de Z/pZ sur . On peut s'intéresser à sa suite spectrale (en cohomologie, je préfère).
    Au rang 2, on a .
    Au rang infini, la cohomologie est concentré en degré 1 (iso à H*(E1) aisée à calculer).
    On prend les éléments de , leur différentielle arrive dans la cohomologie de la base (). Les images sont non triviales.
    Et maintenant le classique "argument de coin" : si H*(B) est de degré fini, alors soit N son plus haut degré, les classes de "vivent" au rang infini ce qui contredit que la cohomologie de E1 soit concentré en degré 1.

    B)
    Je n'en donne que l'idée :
    on construit un G-squelette de R^{n'} (quantité dénombrable de cellules, ce n'est pas génant) :
    chaque cellule est répliquée : pour une cellule x, toutes ses images g.x sont dans la décomposition.
    On a alors par "quotient" un squelette de de degré maximal=n' d'où .

    On peut voir le A aussi de la manière suivante : la cohomologie de K(G,1) est de degré infini. Info : avec un peu de travail ( il faut écrire explicitement les classes et constater que ça ne se simplifie pas puis compter) on montre en plus que c'est un espace hyperbolique : dim(H^i) croît exponentiellement avec i (pour un groupe quelconque les divers "apports" ne s'annulent pas, on voit vraiment pas pourquoi il le ferait, ils se multiplient) brider l'homotopie par la torsion fait "exploser" la (co)homologie)

    En résumé :
    en (co)homologie : quand on quotiente (proprement tout du moins) R^n, celle-ci reste de degrè inférieur à n.
    en homotopie, créer de la torsion fait "exploser" la cohomologie
    Une action libre de G sur R^n créerait de la torsion tout en restant en (co)homologie de degré fini, c'est incompatible.

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  25. #19
    doudache

    Re : Action d'un groupe fini sur R^n

    Merci pour ta réponse détaillée ! Dès que j'ai le temps je regarde ça de plus près.

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