Action de groupe

[invite8be57c24]

Bonjour,

Je suis en train de regarder quelques exos de théories des groupes et y'en a un qui me pose un problème...

J'ai un groupe G qui agit sur un ensemble X. De plus le cardinal de G est de 143 et celui de X 108.
Il faut prouver qu'il y'a un élément de X qui est stable pour tout élément de G, autrement dit que le stabilisateur de cet élément est égal à G.

Je ne vois pas par quel bout m'y prendre... Il y'a bien un morphisme qui va de G dans Sym(X) grâce à l'action, mais je ne vois pas à quoi sa peut bien mener...De plus je ne vois pas où peuvent bien apparaître les hypothèses de cardinalités...

Merci de me filer quelques pistes.

Haruspice
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[invited5b2473a]

Si tu prends un x dans X et que tu poses x'= Somme(g.x,g dans G), ça ne marcherait pas?

[invite8be57c24]

Sa me paraît étrange parce que g.x est un élément de X pour tout G et X est un ensemble, il n'y a pas de lois définies sur ce dernier. A moins que j'ai mal compris . Merci d'y avoir réfléchi... je vais aller me coucher j'y verrai peut-être plus clair demain !

[invite8be57c24]

En fait c'est un truc comme sa je pense, sa se rapproche de ton idée on prends un x dans X.
on pose comme tu dis x'=produit(g).x pour g dans G et alors il reste à montrer que g'*produit(g).x=produit(g).x et là on doit pouvoir travailler sur les ordres... Je regarderai demain là il se fait tard. Merci pour la contribution. Si quelqu'un d'autre a une idée, pour confirmer ou infirmer la direction...


Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

En fait c'est un truc comme sa je pense, sa se rapproche de ton idée on prends un x dans X.
on pose comme tu dis x'=produit(g).x pour g dans G et alors il reste à montrer que g'*produit(g).x=produit(g).x et là on doit pouvoir travailler sur les ordres... Je regarderai demain là il se fait tard. Merci pour la contribution. Si quelqu'un d'autre a une idée, pour confirmer ou infirmer la direction...


Merci

Si,si. Mon idée fonctionne : h.x' =somme((hg).x,g dans G). Or la fonction f qui a g dans G associe hg est une bijection (c'est même un isomorphisme). C'est clairement un morphisme de groupe, et en fait par le théorème de Lagrange Card(f(G)) = Card(hG) = Card(G). Donc f(G) = G.
Puisque f est bijective, somme((hg).x,g dans G) = somme(g'.x, g' dans G) = x'.

[invite636fa06b]

Bonjour,
Je pense qu'il faut utiliser l'équation aux classes : si G agit sur X et si w(x) est l'orbite de x, Hx son stabilisateur, on a :
1) si , ce qui permet de définir card(Hw) en prenant n'importe quel x appartenant à l'orbite

2)
Ce qui devient avec les valeurs données 108=a+11b+13c+143d
où a,b... sont les nb d'orbites dont le stabilisateur a pour cardinal resp :143,13,11,1. On a déjà clairement d=0 et il faut montrer que l'on ne peut pas trouver b et c positifs tels que 11b+13c=108...
Il me semble Indian, que tu redémontres ce théorème qu'haruspice a du voir

[invite8be57c24]

Merci beaucoup à tous les deux !
Ce cours est vraiment passionnant mais je me perds souvent dans les propriétés à utiliser ... Je vais continuer à m'acharner sur des exos pour que sa rentre !

merci