theoreme de lagrange dans un groupe fini abelien

[GrisBleu]

Bonjour

Je seche lamentablement depuis une heure sur un probleme et n'ai pas trouve grand chose:
J'ai un groupe F a q. Je souhaite montrer que ce groupe est, a un morphisme de corps pres, celui des racines de X^q-X. Je n'ai pas vu beaucoup la theorie de Galois, donc essaie de faire sans.

- Je prend le groupe multiplicatif F/0. Si je montre qu'il existe un element d'ordre q-1 c'est bon. Le theoreme de Lagrange me donne que l'ordre de tout element divise q-1. C'est pas loin...
- En cherchant sur le net, j'ai vu que dans le cas de groupe commutatif (comme mon corps) il existe un element d'ordre q-1.

Je n'arrive pas a trouver la demonstration. Quelqu'un a t il une idee ??

Merci de votre aide

vlad
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[GuYem]

Salut,

Tout d'abord, je pense que tu voulais dire que F est un corps à q éléments.

Ensuite tu as montré par le théorème de Lagrange, que X^q-X est scindé sur F et que ses racines sont exactement les éléments de F. Comme ces racines sont au plus au nombre de q, tu les a toutes trouvés et tu as fini, non ?

[GrisBleu]

Salut guyem

En fait je ne suis pas sur de moi
- F a q elements distincts.
- tous ses elements sont racines de X^q-X. Celle ci sont distinctes et il y en a q.
- On pourrait donc identifier tous les elements de F a toutes les racine de X^q-X mais est ce un morphisme de corps (ca passe + et x ??) ? est ce que ca prouve que F est cyclique ?

a+

[invite986312212]

en quel sens l'ensemble des racines de X^q-X est-il un corps?

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

en quel sens l'ensemble des racines de X^q-X est-il un corps?

C'est justement la question, ça tourne en rond !

Ce n'est pas un corps à moins de se rendre compte que n'importe quel corps de cardinal q donne q candidats pour être ces racines. A partir de ce moment, on transportera la structure de ce corps sur ces racines. D'où la phrase "à un morphisme près".

En espérant ne pas dire de bétises !

[GrisBleu]

OK je pense avoir compris (enfin un peu)
merci pour vos reponses !

Sinon y a t il quelqu un qui a une idee pour le theoreme de lagrange dans un groupe fini (sans repasser par le corps Fq) ? Ca m interesse en soit

a bientot

[GrisBleu]

Bonjour

Une idee de demo pour l'unicite de F:
- Soient M et N sont deux extensions de Z/pZ ou X^q-X est scinde, Dans la premiere, les racines sont 0,1,a2,...,aq dans la seconde 0,1,b2,...,bq.
- On se donne f tq
- f(z)=z si z est dans Z/pZ
- f(a1)=f(b1), etc...
- f(x^n) = f(x)^n
- f est alors un isomorphisme entre Z/pZ{ 0,1,a2,...,aq} et Z/pZ{ 0,1,b2,...,bq}
- Tout corps ou Z/pZ est inclus et ou X^q-X est scinde a donc un corps isomorphes a Z/pZ{ 0,1,a2,...,aq}.
- Ce corps est donc unique et egal F

Jusque la, ca ne doit etre pas faux
Si je prend F* = F prive de 0.
- F* est un groupe multiplicatif a q-1 elements
- On peut donc associer chaque element de F a une racine q-1 eme de l unite
par bijection. Mais je ne vois toujours pas comment trouver un morphisme de corps

Merci de votre aide !!
@+ vlad

[invite35452583]

Si je prend F* = F prive de 0.
- F* est un groupe multiplicatif a q-1 elements
- On peut donc associer chaque element de F a une racine q-1 eme de l unite
par bijection. Mais je ne vois toujours pas comment trouver un morphisme de corps

Bonjour,
jusqu'ici ce qui précède ne va plus loin qu'une bijection
Alors si j'ai bien compris la question initiale, il s'agit de montrer que le groupe multiplicatif d'un corps (commutatif) fini est cyclique.
Chercher à montrer que pour un cardinal q=p^n il n'existe qu'un corps à iso près n'est pas une bonne voie. C'est l'autre implication qui est plus directe (si a est un générateur du groupe multiplicatif, alors a engendre F comme corps, son polynôme P minimal unitaire sur Fp est donc de degré n, F est alors isomorphe à Fp/(P) en tant que corps ; maintenant si on prend un 2ème corps F', tous les élements non nuls sont dans F* ou F'* groupe d'ordre q-1 donc x^(q-1)=1 et x^q-x=0, comme 0 vérifie aussi cette dernière égalité tous les éléments de F et de F' sont racines de X^q-X, X^q-X se décompose en un produit de polynômes irréductibles sur Fp X(X-1)...(X-(p-1))P1P2P3...Pk un de ces Pi est égal à P d'après ce qui précède, comme X^q-X a exactement q racines sur F' et que chacun de ces polynômes Pi ne peut avoir plus de deq(Pi) racines, tous les polynômes ont exactement deg(Pi) racines (donc au moins une) en particulier P, soit a' élément de F' racine de P, F' est donc iso à F(X)/(P) un iso de corps entre F et F' est engendré par a->a'.)

Maintenant comment montrer que F* est cyclique ?
Un moyen direct est d'utiliser les polynômes cyclotomiques (qui permettent aussi de réduire la preuve ci-dessus).
Un autre moyen, moins coûteux en théorie préliminaire mais équivalent, est de comparer ce groupe à un cyclique d'ordre q-1.
Un cyclique d'ordre q-1 contient q-1 éléments se répartissant en, une part, des éléments d'ordre d diviseur strict de q-1 et, d'autre part, des éléments d'ordre q-1.
F* a lui aussi q-1 éléments, si on parvient à montrer qu'il n'a pas plus d'éléments d'ordre d diviseur strict de q-1 alors on aura aussi montrer qu'il possède au moins autant d'éléments d'ordre q-1 que le cyclique et donc en possède au moins un.
Reste à trouver un argument qui permet de montrer que sur un corps (commutatif) il n'y a pas plus d'éléments d'ordre d que dans un cyclique d'ordre un multiple de d. (penser aux polynômes)

[GrisBleu]

Salut Homotopie ! Merci pour ton aide.

Voila ce a quoi je pense (si ce n est pas bon, j arrete et ouvre un cours la dessus avant de revenir a mes moutons)
- Je suppose Fq commutatif (je peux y appliquer la formule du binome).
- Fq est un Z/pZ ev de dimension n. Une base est e1,...,en.
- Je sais que pour a<p.

- Premier point: Z/pZ[e_i] est une extension finie de Z/pZ, donc il existe un ri <= n minimum tel que ei^(p^ri)=ei.
- Second point: , de meme par reccurence (je ne suis pas sur de moi du tout)
- troisieme point: soit r le maximum des ri.
soit x un element de Fq




Donc
- je conclue par: si r < n, alors F est corps de rupture de x^{(p^r)}=x sur Z/pZ ce qui est contradictoire avec son cardinal

Etait ce la demonstration que tu avais en tete ?

Merci et a bientot

[invite35452583]

Etait ce la demonstration que tu avais en tete ?

Non pas vraiment.
Car qu'as-tu démontré ?
que si ei est une base alors max(min(ri))=n si ri=min(k; ei^(p^k)=ei).
Tu en conclues que F est corps de décomposition (et non de rupture) de X^(p^n)-X. Or ce résultat est beaucoup plus immédiat (encore une fois : F* a q-1 éléments donc pour x distinct de 0 x^(q-1)=1 et par la même x^(p^n)-x=0 et pour x=0 ce résultat est encore plus trivial, or X^q-X a une dérivée sur Fp égal à -1 donc il n'y a pas de racine double, et un corps de décomposition de X^q-X sur Fpa au moins q éléments donc X^q-X est scindé sur F et est minimal. Difficile de trouver plus court et plus simple).
Le fait que F est un corps de décomposition de X^(p^n)-X ne montre pas que F* est cyclique et ne montre pas que l'unicité à iso près des corps de cardinal q=p^n (à moins d'admettre l'unicité à iso près des corps de décomposition).
Ta démonstration ne montre pas non plus que F* est cyclique car les ri ne sont pas définis comme min(h; ei^(p^h)=ei) mais sont définis en se limitant à la sous-famille h=p^k. Ainsi par contre-exemple, sur F16, on a 4 éléments d'ordre 5 dans F16*, qui vérifie X^6-X=0. Par contre on a bien le plus petit ri vérifiant X^(p^ri)=X est égal à 4.
Je n'ai pas trouvé un contre-exemple (je n'en ai regardé qu'un aussi)
sur F16, si on prend x ordre 3, y ordre 5.
A priori, 1,x,y,y² pourrait former une base (ça semble ne pas fonctionner mais je reste persuadé que l'on peut trouver des bases de ce type càd sans aucun générateur du groupe multiplicatif, en tout cas ça n'a rien d'évident).
Si on reprend ta démo x->ri=2 y,y²->ri=4, 1->ri=1. Il y a bien un ri max mais aucun des ei n'est générateur de F*.
Si on modifie pour tenter d'obtenir la cyclicité du groupe multiplicatif, on a 1->ordre 1, x->ordre3 ,y,y²->ordre 5 on ne peut pas prendre max(1,3,5,5)=5 car x^5 n'est pas égal à 1, il faudrait prendre le ppcm mais on ne montre pas plus la cyclicité (on redémontre simplement que X^16-X est toujours vrai mais sans montrer qu'il existe un élément pour lequel 16 est le plus petit qui convienne bref on continue de tourner en rond).

En espérant t'avoir aidé à y voir plus clair.

[invite986312212]

il s'agit de montrer que le groupe multiplicatif d'un corps (commutatif) fini est cyclique.

plus généralement, tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique. Il me semble qu'il y a une preuve de ce fait chez Serre (cours d'arithmétique, aux PUF)

[invite35452583]

plus généralement, tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique. Il me semble qu'il y a une preuve de ce fait chez Serre (cours d'arithmétique, aux PUF)

Je crois même qu'il y en a une au post#8
Illustrons pour tenter de clarifier.
Prenons comme exemple (F81)*. Ce groupe est d'ordre 80=16x5.
Les ordres possibles pour les éléments de ce groupe sont les diviseurs de 80 :
1,2,4,8,16,5,10,20,40 et 80.
Ce groupe étant commutatif cela limite déjà fortement les possibilités de tructure pour ce groupe mais pour l'instant rien n'empêche des C40xC2, C10XC4XC2, ...
Mais la non-cyclicité de ces groupes augmentent le nombre d'éléments pour certains ordres par rapport au groupe cyclique d'ordre 80 (il faut bien compenser l'absence des éléments d'ordre 80). Par exemple, les éléments d'ordre 2 du 1er est de 3 etdu 2ème est de 7 or pour un cyclique il n'y en a qu'un.
Qu'est-ce qui fait que chez un corps, seul le cyclique est possible ? Le fait que "être d'un certain ordre dans le groupe multiplicatif" revient à être racine d'un polynôme, or le nombre de racines possibles pour un polynôme chez un corps commutatif est limité par le degré. Ainsi, un élément d'ordre 2 (a²=1) est racine de X²-1=0. Ce dernier n'a que 2 racines possibles dans le corps, ce qui exclut les cas C40xC2 et C10XC4XC2.
En reprenant cette idée, on montre que les éléments d'un ordre d inférieur strictement à l'ordre m du groupe sont en nombre moindre que les éléments du même ordre d dans le cyclique d'ordre m (qui vérifie la même règle il n'y a pas plus de d éléments d'ordre d). C'est plus détaillé dans une des deux parties du post 8. Or dans ce dernier ces éléments "n'occupent pas toute la place" ils sont en nombre moindre que m, il en est donc de même dans le groupe multiplicatif considéré qui contient donc nécessairement des éléments de plus grand ordre (càd m) et est donc cyclique.