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Variétés, bords, conjecture de Poincaré



  1. #1
    planck

    Variétés, bords, conjecture de Poincaré


    ------

    Bonjours à tous!

    Voilà, en fouinant sur le web je suis tombé, à force de lien, sur la conjecture de Poincaré, ça m'a l'air intéressant, et j'aimerais en savoir un peu plus parce que je suis pas sûr de tout comprendre... D'où les quelques questions:

    1. En multipliant mes sources, je suis tombé sur plusieurs définitions d'une variété; dans certaines, on considère que chaque point est homéomorphe à , dans d'autres on autorise que le n dépende du point considéré, et enfin dans d'autres on autorise le voisinage à être homéomorphe à ... Alors, finalement, une croix, c'est une variété ou non? (comment on s'en sort avec l'intersection...) Y aurait-il une différence entre variété et variété topologique?

    2. Par ailleurs, je me demandais ce qu'était un bord...
    en fait, j'ai vu qu'on parlait dans la conjecture de variété compact sans bord.
    or, en dimension finie, pour les ev normés réels, on a:compact ssi fermé borné... Généralisant un peu vite, je me suis dit que dans le cas d'une variété, ça devait pas être si différent! seulement, problème: j'aurais alors qqch de fermé et sans bord... ce qui contredit la vision que j'ai de ces notions...

    3. alors bref, si quelqu'un pouvait avoir la bonté de m'éclairer sur tout cela, notamment la définition du bord... J'ai l'impression que je confonds bord et frontière, et surtout, que je m'embrouille en ce qui concerne les espaces de travail et d'éventuels plongements dans des espaces de dimension supérieure... Je suis plein de bonne volonté, mais sans réels cours là dessus, c'est dur dur... (si vous avez des livres ou pdf à conseiller sur tout ça, je prends les références avec plaisir! ^^)


    Merci beaucoup!


    ( quelques sources utilisées pour les définitions:
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C3...A9_topologique
    http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/node12.html
    http://www.cpt.univ-mrs.fr/~coque/book/node13.html
    http://dept-info.labri.fr/~lachaud/c...or/node20.html )

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Bleyblue

    Re : Variétés, bords, conjecture de Poincaré

    Salut,

    Pour le coup du bord, ce n'est pas pareil que la frontière ?(a savoir F\I ou F est la fermeture de A et I l'adhérence)

    Pour le coup des variétés j'ai plusieurs définitions dans mon cours aussi mais c'est vraiment horrible comme truc (horrible dans le sens difficile à bien comprendre), apparament c'est une formalisation/généraliation du concept de "surface"

    (désolé de ne pas pouvoir t'être plus utile)

  4. #3
    planck

    Re : Variétés, bords, conjecture de Poincaré

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Pour le coup du bord, ce n'est pas pareil que la frontière ?(a savoir F\I ou F est la fermeture de A et I l'adhérence)
    aucune idée! c'est bien là le problème... enfin, aucune idée, si: j'ai l'impression que c'est pas la même chose,vu ce que je lis....
    mais comme dit, c'est plus un coup de dé qu'une certitude, cette réponse...

    merci quand même!

  5. #4
    Taar

    Re : Variétés, bords, conjecture de Poincaré

    Salut !

    Voici quelques idées dans le cas des surfaces topologiques.

    Considère le disque fermé dans l'espace ambiant R2. Il a une frontière, qui est le cercle.

    Considère maintenant le disque fermé tout seul X, muni de la topologie induite. X est lui-même l'espace ambiant. Comme dans toute topologie, X est fermé et ouvert. Donc sa frontière est vide.

    Autrement dit, la notion de frontière est dépendante de l'espace ambiant. C'est d'ailleurs pourquoi on parle de frontière d'une partie, pas d'un espace.

    Maintenant passons au "bord".

    Considère le disque ouvert (espace ambiant : lui-même). La frontière est vide. Chaque point a un voisinage homéomorphe à un disque ouvert (on préfère d'ailleurs voir ça comme un homéomorphisme avec R2). Le disque ouvert est une variété de dimension 2. Il n'a pas de bord.

    Considère maintenant le disque fermé (espace ambiant : lui-même). La frontière est toujours aussi vide. Par contre, quand on prend un point du cercle qui limite le disque, aucun voisinage n'est homéomorphe à R2. Donc le disque fermé n'est pas une variété. On peut diviser les points du disque en deux types :
    - ceux pour lesquels on a un voisinage de la forme "R2" ; ils forment une variété (le disque ouvert)
    - ceux pour lesquels on n'en a pas

    Pour chaque point du cercle, on a par contre un voisinage homéomorphe à un demi-disque (en général on y pense plutôt comme homéomorphe à un demi plan).

    On dit alors que le disque est une variété de dimension 2 à bord. Le bord est formé de ces points pour lesquels, via l'homéomorphisme local à un demi-plan, on est sur le bord du demi-plan. Ici, le bord est le cercle.

    Ainsi, la notion de variété à bord généralise la notion de variété. Toute variété est une variété à bord. La réciproque est fausse. Les variétés à bord qui sont des variétés sont celles qui ont leur bord vide...

    La sphère n'a pas de bord, c'est une variété. Par contre, elle est compacte.

    Voilà pour les quelques idées. J'espère que ça t'aide un peu.

    Taar.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    planck

    Re : Variétés, bords, conjecture de Poincaré

    oui, merci beaucoup, ça m'aide bien! je pense que ça rentre petit à petit

    et encore une fois, si vous avez des références de livres portant sur ces sujets...!

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