Conjecture de Poincaré

[inviteae196a7a]

Bonjour
Je poste ce message ici bien que ce sujet ne soit pas au programme du lycée mais parce que c'est mon niveau ^^(TermS)

Voila mon problème:
Je m'interesse depuis peu à la conjecture de Poincaré (en fait depuis presque ce soir )
J'ai donc fait quelques recherches sur mon ami google et sur mon forum préféré ( ).
Je suis tombé sur une définition (qui me parait etre celle qui est juste mathématiquement) qui décrit la conjecture de Poincaré comme etant une conjecture sur le fait que une sphere à n dimension est homéomorphe à une sphère à n+1 dimension (si j'ai bien compris)
Et je suis tombé sur une autre explication qui dit que la conjecture de poincaré nous dit qu'il serai possible de passer d'une sphère à un tore sans la "déchirer".

La première ne me donne pas de dificulté de compréhension (enfin pas trop ^^) mais je ne vois pas trop comment on peu la simplifier en la deuxieme.

Voili voilou
merci d'avance
-----

[g_h]

Les 2 disent la même chose, au vocabulaire (et au type d'auditoire) près !

Voici un très bon article sur la conjecture de poincaré de notre ami martini_bird qui sévit sur ce forum :

"La conjecture de Poincaré s'énonce finalement ainsi : toute variété compacte de dimension n=3 (ou plus), sans bord et simplement connexe, est homéomorphe à une sphère de dimension n"

C'est un peu dur en terminale...

[inviteae196a7a]

Oui oui je l'ai lu l'article
mais pourquoi si l'on considère une sphere n on peut considerer que la sphere n+1 est un tore?

[invite35452583]

une sphere à n dimension est homéomorphe à une sphère à n+1 dimension (si j'ai bien compris)
Et je suis tombé sur une autre explication qui dit que la conjecture de poincaré nous dit qu'il serai possible de passer d'une sphère à un tore sans la "déchirer".

Les 2 disent la même chose, au vocabulaire (et au type d'auditoire) près !

Bonsoir,
alors tout faux !
spitfireman tu as raison d'ajouter "si tu as bien compris", tu as du confondre avec la définition de la n-sphère est l'ensemble des points situés à la même distance de l'origine dans un espace réel de dimension n+1 : la 1-sphère (c'est le cercle) est défini dans R², la 2-sphère (c'est la sphère classique) est définie dans R^3... on peut les retrouver dans un espace plus grand (il y a des cercles dans l'espace R^3)

Mais la n-sphère et la (n+1)-sphère ne sont pas seulement non homéomorphes (la 1ère est de dimension n, la seconde est de dimension n+1, or la dimension est une notion topologique c'est à dire se conserve par homéomorphisme),
elles sont même dissemblables au niveau homotopique : par exemple, toute application continue de la n-sphère (ou de dimension inférieure) dans la (n+1)-sphère est homotopiquement triviale (on peut la déformer continuement jusqu'à une application constante : tout est envoyé sur le même point). Par contre, les applications des n-sphères forment un groupe isomorphes à Z (le nombre de tours de la (n+1)-sphère sur elle-même, pour un cercle cette notion est facile à comprendre)

Quant au n-tore c'est le produit de n cercles (un pneu, ersatz de 2-tore, se construit en faisant tourner un cercle le long d'un autre cercle, après construction les deux cercles sont topologiquement équivalents). Un n-tore est de dimension n. Ces espaces ont des groupes fondamentaux égaux à ZxZx..xZ (n copies), en gros si on part d'un point que l'on tire un élastique autour de ce tore pour revenir au même point, on peut compter le nombre de tours autour du 1er cercle, autour du second...autour du n-ème, ces nombres de tours ne changent pas même si on déplace notre élastique si on ne le casse pas et si laisse ses deux extrémités au même point. Or à part le cercle toute application de ce type dans une n-sphère est triviale (on peut ramener tout l'élastique au même point). Le cercle est la seule n-sphère qui est aussi un n-tore.


"La conjecture de Poincaré s'énonce finalement ainsi : toute variété compacte de dimension n=3 (ou plus), sans bord et simplement connexe, est homéomorphe à une sphère de dimension n" (cf post de g_h) Ca oui, et le résultat est vrai pour tout n.
En fait dès les premiers "outils" topologiques on a pu classifier les variétés compactes de dimension 2 sans bord (et de dimension 1, il n'y a que le cercle)
orientable : sphère, tore, collage de deux tores, de trois tores...
non orientable : bouteille de Klein, collage d'un tore et d'une bouteille de Klein
Classification assez facile : orientable ou non, nombre de "trous", ces deux infos suffisent à dire quel espace on a affaire.
La sphère était la plus "simple" du point de vue de la déformation des cercles en son sein. Toutes les autres surfaces sont obtenues en contorsionnant, en coupant deux cercles et en recollant bord à bord ce qui induit que les déformations des cercles ne sont alors plus triviales.

Il a été conjecturé (à raison depuis peu on le sait) qu'au moins la 1ère partie était vraie (cf ci-dessus la définition rappelée en italique).
Et dans ce domaine de classification, en gros les variétés de dimension 1 ou 2 sont trop petites pour être "compliquées", les variétés de dimension >=5 vivent dans des espaces où il y a beaucoup de place pour bouger, se déformer, les dimensions 3 et 4 sont les plus délicates. Et pour cette question précise, c'est la dimension 3 qui l'
est le plus.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteae196a7a]

Merci
Je crois que j'ai compris maintenant
Cela signifie en fait que l'histoire du tore est juste une application particuliere de cette conjecture, c'est à dire au 2-tore qui est homéomorphe à la 2-sphere? c'est bon?
merci encore

PS: Ce n'est pas moi qui ai dit "les deux disent la meme choses" ^^

[invite35452583]

c'est à dire au 2-tore qui est homéomorphe à la 2-sphere?

Le cercle est la seule n-sphère qui est aussi un n-tore.

Pour le cercle n=1 (càd est de dimension 1)

Par chance, faire une esquisse de preuve que le 2-tore (pneu vide) et la 2-sphère (la sphère classique) ne sont pas homéomorphes.
Je suppose que tu as déjà vu des modélisations 3-D de forme un peu complexe (des voitures par exemple) par des "maillages". Ces maillages sont constitués de points que l'on relie entre eux et cela forme des polyèdres et donc des faces. Au plus le maillage est serré, au plus le modèle correspond à la surface elle-même.
Maintenant, si on a deux surfaces S'1 et S'2 (le ' c'est pour rappeler que ce ne sont ^pas nécessairement des sphères) homéomorphes on a une correspondance entre les points de S'1 et de S'2 biunivoque (càd à un point de S'1 correspond un point et un seul de S'2, et donc vice-versa). De plus cette application évite de déchirer les surfaces (sinon on fait ce qu'on veut : on fait deux trous dans une sphère, cela donne deux bords qui sont des cercles, on recolle on a un tore), ici on ne déchire pas ! Une conséquence est que si on prend un maillage de S'1, on peut par cette correspondance créer un maillage de S'2, et si le 1er maillage on le fait de plus en plus fin, donc les faces viennent se "coller" sur S'1, alors le maillage de S'2 correspondant fait de même. Si on trouve une différence fondamentale entre les maillages du tore et ceux de la sphère alors les deux surfaces ne sont pas homéomorphes.
Prenons des maillages simples
Tore :
partons de trois triangles équilatéraux dont on place un sommet vers le haut et on en place ces trois triangles sur un plan horizontal sur les 3 sommets d'un triangle équilatéral du plan (au moins 2 fois plus grand que les 3 premiers). Et on oriente la base de nos trois triangles vers le centre du grand. Maintenant on relie les sommets de ces trois triangles (ceux du haut, ceux du plan vers l'extérieur, les 3 vers l'intérieur) par 9 arêtes. On a 9 faces.
nombre de faces (f) : 9
nombre d'arêtes (a) :18 (3 premiers triangles : 3x3, arêtes reliant leurs sommets 9)
nombre de sommets (s) : 9 (3x3)
f-a+s=9-18+9=0
On peut faire la même chose avec des carrés placés aux sommets d'un carré du plan, on obtient
f=16, a=32 s=16 f-a+s=0
4 triangles au sommet d'un carré f=12 a=24 s=12 f-a+s=0
Construisons en un avec f et s distincts :
on reprend le 1er maillage et on fait une "hernie", on prend un point d'une face on le relie aux 4 sommets de cette face puis on tire un peu pour faire une vraie "hernie".
Comptons on a ajouté 4 faces mais on a supprimé une des faces du 1er maillage=>f=9+3=12
arêtes a=18+4=22
sommets s=9+1=10
f et s sont distincts mais on a toujours f-a+s=0.
Tu peux essayer avec d'autres maillages, on a invariamment f-a+s=0 !
Explication à partir du 1er maillage :
on coupe le long des arêtes du haut (on arrive à se convaincre que l'on peut toujours faire une coupure de ce genre avec n'importe quel maillage d'un truc qui ressemble à un tore), on met un peu de souplesse dans les faces non horizontales et on rabat vers le plan (donc certaines vers l'intérieur les autres vers l'extérieur).
Comptons : les 3 sommets ont été doublés=>3 de plus
mais de même les 3 arêtes ont été doublés donc trois de plus (qu'il y ait le même nombre d'arêtes et de sommets n'est pas une coïncidence : c'est le coup des piquets ! on a découpé le long d'une ligne fermé qui contient le même nombre d'arêtes et de sommets)
Revenons à notre découpé et rabattu. On a une truc qui ressemble vaguement à un anneau. On redécoupe mais cette fois le long des côtés repliés d'un triangle (avec n'importe quel maillage on aurait une sorte d'anneau et on pourrait couper de l'intérieur vers l'extérieur le long de sommets et d'arêtes)
Cette fois le coup des piquets nous dit que l'on a "doublé" un sommet de plus que d'arêtes. on a donc ajouté 1 à f-a+s. On montre après que pour la crêpe sans trou qui reste on a f-a+s=1 et donc pour le maillage initial f-a+s=0.
Sphère :
là c'est plus facile (ouf!)
le cube est un maillage (très grossier) d'une sphère
f=6 a=12 s=8 f-a+s=2
le tétraèdre (pyramide à base triangulaire) f-a+s=4-6+4=2
l'octaèdre (deux pyramides à base carré que l'on recolle l'une sur l'autre) f-a+s=8-12+8=2
Là aussi tu peux en prendre d'autres ("ballon de foot", pyramide à base ce que tu veux...) on a invariamment f-a+s=2 !
Explication :
à partir du cube, on retire totalement une face, et en mettant un peu de soupline ( ) on aplatit le reste on a encore une crêpe sans trou. Or ona doublé le même nombre d'arêtes et de sommets et on aretiré une face f-a+s a baissé de 1 donc pour la sphère f-a+s=1+1=2
Pour une "crêpe" on a f-a+s=1
à une seule face a=s f=1 f-a+s=1
si plusieurs faces, on découpe le long d'arêtes et de sommets pour obtenir deux autres "crêpes" sans trou.
on a doublé un sommet de plus que d'arêtes
(f-a+s) du gros=somme des deux (f-a+s) des deux petits-1.
Maintenant pour une crêpe à 2 faces=>petit=1 face f-a+s=1 total=1+1-1=1
3 faces=>2 crêpes dont f-a+s=1 car c'est vrai pour 1 ou 2 faces
...
pour n'importe quelle "crêpe" f-a+s=1 (terminé).
Cette valeur invariante est appelé la caractéristque d'Euler-Poincaré (on peut la définir pour n'importe quelle surface et "espace"). C'est un des nombreux invariants topologiques, il permette, entre autres de montrer qu'il existe des impossibilités d'homémomorphisme comme ici entre la 2-sphère et le 2-tore.

[inviteae196a7a]

Euh excuse moi mais je trouve la description de ton polyedre pas tres claire...

partons de trois triangles équilatéraux dont on place un sommet vers le haut

d'accord...

sur un plan horizontal sur les 3 sommets d'un triangle équilatéral du plan

C'est par là que j'ai du mal.... on a donc nos trois triangle sur le plan (mais comment sont-ils les uns par rapport aux autres?) que l'on place sur les trois sommet d'un triangle equilateral de ce plan... oui mais quelle partie de chaque triangle etst sur "les 3 sommets" du triangle?

Enfin bref si tu pouvais m'eclaircir sur le début de ta démonstration je pense que pour la suite je pourrais alors y arriver


Cependant la conclusion de ta demonstration me ramène à ma question initiale qui était en gros:
Pourquoi défini-t-on la conjecture de poincaré comme disant qu'il serai possible de passer d'une sphère à un tore sans la "déchirer"???

Merci

[martini_bird]

Salut,

Pourquoi défini-t-on la conjecture de poincaré comme disant qu'il serai possible de passer d'une sphère à un tore sans la "déchirer"???

Ceci est un amalgame qui n'a pas grand chose à voir avec la conjecture de Poincaré : c'est un résultat topologique général lié au fait que les groupes fondamentaux du tore et de la sphère sont distincts.

"La conjecture de Poincaré s'énonce finalement ainsi : toute variété compacte de dimension n=3 (ou plus), sans bord et simplement connexe, est homéomorphe à une sphère de dimension n" (cf post de g_h) Ca oui, et le résultat est vrai pour tout n.

Il faut ptet écarter le cas n=1 : un cercle est pas franchement simplement connexe.

Cordialement.

[Futura]

Voici un très bon article de notre ami martini_bird qui sévit sur ce forum :

Très bon ? tu plaisantes j'espère...

Excellent oui

[inviteae196a7a]

Donc cette pseudo-definition de la conjecture n'est donc qu'un amalgame. D'accord voila une question de réglé XD
Mais ta phrase est un peu ambigue martini
Est-elle juste ou pas cette affirmation (meme si elle n'est pas en correspondance avec la conjecture de poincaré?
(mon instinct me dit que nan mais je sais qu'à ce niveau les choses peuvent etre parfois surprenantes )

[martini_bird]

Mais ta phrase est un peu ambigue martini

C'est fort possible mais laquelle ?

[inviteae196a7a]

Woops
Bah tant qu'à faire je vais plutôt reformuler:
Est-ce qu'il est possible de "transformer" une sphere en tore (et reciproquement) sans "déchirer" la sphere?

[martini_bird]

Est-ce qu'il est possible de "transformer" une sphere en tore (et reciproquement) sans "déchirer" la sphere?

Non : en temes mathématiques, une sphère n'est pas homéomorphe (ni homotope par conséquent) à un tore.

Cordialement.

[inviteae196a7a]

Ok merci!!!!
Donc voila il ne me reste plus qu'à comprendre la demonstration de homotopie et ma soif de connaissance sera calmé pour la soirée ^^

[invite35452583]

"La conjecture de Poincaré s'énonce finalement ainsi : toute variété compacte de dimension n=3 (ou plus), sans bord et simplement connexe, est homéomorphe à une sphère de dimension n" (cf post de g_h) Ca oui, et le résultat est vrai pour tout n.

Il faut ptet écarter le cas n=1 : un cercle est pas franchement simplement connexe.

Oui bien sûr. L'erreur grossière vient sans doute que j'ai en tête la conjecture sous la forme "toute variété ayant l'homotopie d'une sphère est une sphère"

[invite35452583]

Euh excuse moi mais je trouve la description de ton polyedre pas tres claire...

Bon je vais la décrire autrement.
Sur un plan on place A, B et C 3 sommets à équidistance. G est le centre du triangle ABC (attention il ne fera pas partie du maillage). On place trois segments (plus petits que AB/2 voir plus petits) A1A2 centré en A, B1B2 centré en B, et C1C2 centré en C et tels que les droites (A1A2) (B1B2) (C1C2) passent par G. On place perpendiculairement au plan et du même côté de ce plan trois points A3, B3, C3, ces 3 points se projettent respectivement sur A, B et C et tels que les triangles A1A2A3, B1B2B3 et C1C2C3 soient des traingles équilatéraux.
On termine la modélisation grossière du tore en liant Ai, Bi et Ci (i=1 à 3).
On a les faces trapézoïdales A1A2B2B1 ...
En espérant que ce soit plus clair.

[invite35452583]

il serai possible de passer d'une sphère à un tore sans la "déchirer"???

A près réflexion ceci est possible, ce qui ne remet pas en cause le fait que le 2-tore et lma 2-sphère ne soit pas homéomorphe.
Explication et brossage de ce que l'on fait avec les variétés (enfin moi pas trop, ce n'est pas mon domaine, la topologie c'est vaste) : les sommes connexes.
En dimension 2, on prend deux surfaces, on découpe un disque (le bord est donc un cercle) sur chaque surface et on recolle bord à bord (exemple "sanitaire", on prend deux tuyaux bouchés on coupe un bout de l'un, on découpe un disque sur le flanc de l'autre et on soude les deux). On note cela#.
sphère#surface c'est homéo à la même surface pas très intéressant
tore#tore, ça donne une sorte de menottes, surface à 3 "trous" : 1er c'est l'intérieur, les deux autres on peut passer les poignets.
...
Pour les "3-surfaces" on peut faire la même chose mais le bord sera soit un cercle soit un tore cette fois, d'où l'importance de ces deux surfaces dans ce domaine.
"Passer sans déchirer"
Prenons un tore (ou pneu) et mettons à la verticale (position somme toute lassique pour un pneu). Découpons (du moins par l'esprit par tranche horizontale)
De haut en bas, on a successivement :
1 point
1 cercle
1 cercle +1 point
2 cercles
1 cercle+1 point
1 cercle
1 point
Or deux cercles ce n'est pas homéomorphe à 1 cercle (il y en a en un morceau et l'autre en 2, et le nombre de "morceaux" est conservé par homéomorpisme)
Je me demande si ce que tu as lu n'est pas une description de ce type. Mais "passer sans déchirer" dans ce sens là ne signifie pas qu'un tore et une sphère sont homéomorphes pas plus que l'ensemble de 2 cercles n'est homéomorphe à un seul cercle.

cordialement

[invite35452583]

"toute variété ayant l'homotopie d'une sphère est une sphère"

Toute variété compacte sans bord
est= est homéomorphe

1 cercle
1 cercle +1 point
2 cercles

1 cercle (topologique, càd homémorphe à un cercle) dont deux parties opposées du bord à aprtir d'une certaine hauteur se rapproche progressivement
2 cercles qui se collent en 1 point
2 cercles séparés.

Les corrections étant faites et tout en continuant à penser que ce que tu as lu peut être lié à ce type d'analyse d'une ""n-surface"", je suis tout de même étonné que cette conjecture soit lié à la possibilité de passer continuement d'une sphère à un tore. En topologie quand il est possible de faire quelque chose avec des objets topologiques "bien définis" c'est généralement "facile", à moins qu'il n'y ait des contraintes désagréables (que je ne vois pas ici). Ce que j'entend par "bien défini" c'est "tore", "sphère"... à opposer à une définition du type une "variété compacte sans bord simplement connexe" qui ne définit que par des propriétés topologiques.
Bref, pourrais-tu donner scanner et poster l'article en question ou donner un lien.