Bonjour, je cherche une manière de trouver tous les groupes abéliens d'ordreà isomorphisme près !
J'avais envisagé d'utiliser le théorème de structure des groupes abéliens d'ordre fini ce qui me donne par exemple :
Comment faire pour être sûr de tous les trouver ?
Merci
Salut !
si je ne me trompe pas, tu sais que tous les groupe abélien finit s'écrive d'une unique facon de la forme Z/d1Z* Z/d2Z ... *Z/diZ avec d1|d2|...|di c'est ca ?
donc tu dois trouver toute les suite d1|d2...|di telle d1*d2..*di=1800
une telle suite à au plus 3 element car 1880 n'est pas divisble par un puissance 4e.
si elle a trois element, le premier ne peut-etre que 2, et le deuxieme est n'est pas divisible par 3^2 ou 5^2 ce qui laisse quatres possibilités : 2,6,150 ou 2,10,90 ou 2,2,450 ou 2,30,30.
si elle a deux element seulement, il faut choisir un nombre telle que d²|1800 et complété par ce qu'il manque pour le deuxieme terme, ca nou laisse :
2,900
3,600
5,360
6,300
15,120
10,180
30,60
et enfin si elle à un uniquement element, c'est forcement 1800
on a donc trouver (sauf erreur) qu'il y a 12 groupes abélien de cardinal 1800
Ok c'est bien ce théorème là que j'utilise!
Merci pour la réponse je n'arrivais pas à justifier convenablement le fait qu'ils étaient tous là !!
Merci
enfait il y a une autre facon de les avoir tous, un peu plus adapté à ce probleme... au lieu de le regrouper en d1|d2...|di, on peut aussi voir qu'un groupe abélien de cardinal n=P1^a1...Pi^ai, ce décompose de facon unique en un produit de groupe G1*G2...*Gi
ou Gj est un groupe de cardinal Pj^aj.
à partir de la il te reste à trouver les groupe de cardinal 2^3, 3^2 et 5^2. ce qui est beaucoup plus rapide.
Pour justifier la décompositio tu utilise le théorème chinois ?
à partir de la décomposition de ton th on obtiens l'éxistence de celle ci par le th chinois. mais on pourait la prouver de facon completement indépendante, en faisant a peu pres la meme chose que ce que tu fais pour prouver celle que tu utilise.
pour l'unicité, on utilise le fait que Gi est en fait l'ensemble des elements telle que x^(Pi^ai)=1
OK merci!
