Fonction de Green pour le Laplacien

[invite68300e07]

Bonjour a tous !

je cherche a demontrer les formules de Green pour le Laplacien en 3d et 2d, notamment en passant par la transformee de fourier.

J'ai pas mal cherche sur le net mais je n'ai jamais trouve la solution complete.


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[invite93279690]

Bonjour a tous !

je cherche a demontrer les formules de Green pour le Laplacien en 3d et 2d, notamment en passant par la transformee de fourier.

J'ai pas mal cherche sur le net mais je n'ai jamais trouve la solution complete.

Comme ton niveau n'est pas indiqué je dois te poser la question:
connais tu les distributions ?
Parce qu'il y a une belle méthode pour trouver la fonction de Green en résolvant l'equation au sens des distributions.

[invite68300e07]

Oui, je connais les distributions meme si il faudrait que je revoit ca un peu.

Je cherche pour l'instant du cote de la transformee de fourier, avec un passage eventuellement par le theoreme des residus pour la transformee inverse.

ceci dit, si tu as une solution redigee quelque part, je suis preneur.

[invite93279690]

Oui, je connais les distributions meme si il faudrait que je revoit ca un peu.

Je cherche pour l'instant du cote de la transformee de fourier, avec un passage eventuellement par le theoreme des residus pour la transformee inverse.

ceci dit, si tu as une solution redigee quelque part, je suis preneur.

si tu veux je peux te l'ecrire...même si pour le theorème des residus ça va etre dur de faire le dessin
Mais je pense que tu peux trouver la methode dans des cours de theorie des champs ou de theorie quantique des champs, c'est toujours la même chose. C'est peut etre fait dans le Landau aussi...
tu peux peut etre aussi le trouver là

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

C'est-y fait ici, en langage distributions :

http://www.phytem.ens-cachan.fr/tele...ques/cmp84.pdf

p 74

[invite7ce6aa19]

Comme ton niveau n'est pas indiqué je dois te poser la question:
connais tu les distributions ?
Parce qu'il y a une belle méthode pour trouver la fonction de Green en résolvant l'equation au sens des distributions.

.
Et il y en a pas d'autres. la philosophie des fonctions de Green est la celle de la transformée de Laplace (donc des distributions). Pour la transformée de Laplace il s'agit de remplacer une équation différentielle par une équation algébrique qui intégre les conditions initiales. Pour les équations aux dérivées différentielles les fonctions de Green servent à inverser une matrice continue infinie:
.
On a H*G = I

H opérateur quelconque, G opérateur de Green et I matrice identité infinie (matrice de distributions de Dirac).
.
Solution: G = I/H-1

[invite68300e07]

merci a tous.

Pour Gwydon et mariposa : oui je suis d'accord, que ca marche tres bien et que c'est bien dans l'idee de l'utilisation des fonctions de Green. Mais je cherche avant tout une methode constructive, et celle a laquelle je pense pars de l'equation de base :

\Delta G=\delta.

on passe en fourier, et on se debrouille pour faire la transformee inverse. sauf que je n'arrive pas au bout de l'integrale.

Il y a surement d'autres methode constructives d'ailleurs.

[invite93279690]

.
Et il y en a pas d'autres. la philosophie des fonctions de Green est la celle de la transformée de Laplace (donc des distributions). Pour la transformée de Laplace il s'agit de remplacer une équation différentielle par une équation algébrique qui intégre les conditions initiales. Pour les équations aux dérivées différentielles les fonctions de Green servent à inverser une matrice continue infinie:
.
On a H*G = I

H opérateur quelconque, G opérateur de Green et I matrice identité infinie (matrice de distributions de Dirac).
.
Solution: G = I/H-1

Bien sûr mais je me suis mal exprimé...comme matphi l'a compris je parlais d'une methode sans TF ni TL mais o`u on est obligé de raisonner avec les distributions.
Quand on résout cette equation avec une TF ou une TL, certes, ces dernieres sont definies au sens des distributions mais sinon formellement ce n'est que de l'algèbre élementaire et du calcul intégral.

[invite68300e07]

gatsu : est-ce que tu as une reference particuliere ?

j'ai regarde sur science.ch et dans un Landau et Lifshitz statistical physics, mais je n'ai pas trouve.

[invite7ce6aa19]

gatsu : est-ce que tu as une reference particuliere ?

j'ai regarde sur science.ch et dans un Landau et Lifshitz statistical physics, mais je n'ai pas trouve.

Tu dois avoir quelquechose dans les livres de Cohen-Tanoudji.

[invite93279690]

gatsu : est-ce que tu as une reference particuliere ?

j'ai regarde sur science.ch et dans un Landau et Lifshitz statistical physics, mais je n'ai pas trouve.

On veut résoudre
On définit la transformée de Fourier et son inverse par (j'ecris f dans les deux cas même si ce n'est pas correct d'ecrire ça comme ça):


On a donc
En remplaçant cette expression dans l'equation de Laplace et en se rappelant que

on trouve

ce qui donne :

A présent en prenant la TF inverse on obtient :

en choisisant tel que et en écrivant on trouve en utilisant l'invariance selon \phi:

En posant => on trouve

En faisant le changement k->-k dans le deuxieme terme on trouve:

En integrant sur un chemin fermé en évitant k=0 et en utilisant le théorème des résidus on trouve


Voilà c'est le résultat sauf erreur de ma part.
Il est à noter qu'ici la solution en 1/r est à comprendre au sens des distributions dans le sens o`u si on l'utilise sur une fonction test comme une distribution, il faudra garder seulement la partie principale.

[invite68300e07]

Merci beaucoup !

j'ai finalement trouvé tout seul en utilisant l'integrale de sinx/x. Mais c'est encore mieux avec le theoreme des residus.

(j'avais pas pense a simplifer les coordonnees cylindriques en les prenant dans l'axe ).



Bon, maintenant, la meme en 2D... a priori ca doit passer avec le theoreme des residus.

[invite68300e07]

Bon, passer par Fourier en 2d, ca mene a une integration de fonction de Bessel d'ordre 0... si ca dit qqch a qqn je suis preneur.

Sinon, il y a d'autres methode plus simples en 2d, dont l'integration bete et mechante du laplacien en polaires, mais je suis sur Fourier, pour l'instant...

[invite1c3dc18e]

Bon, passer par Fourier en 2d, ca mene a une integration de fonction de Bessel d'ordre 0... si ca dit qqch a qqn je suis preneur.

Mathematica (Maple aussi je pense) sait intégrer lui même les fonctions de Bessel.

Voici un exemple (j'espère qu'il sera lisible) que j'ai eu récemment:

\!\(?\_0\%? E^\((\(-Abs[
r]\)/L)\)*\((f*2\ ?\ BesselJ[0, \@\(k\^2\ r\^2\)])\)*
r \[DifferentialD]r\)

\!\(2\ f\ ?\ If[\@k\^2 ? Reals && Re[L] ? 0,
L\^2\/\((1 + k\^2\ L\^2)\)\^\(3/2\), Integrate[\[ExponentialE]\^\(-\
\(Abs[r]\/L\)\)\ r\ BesselJ[0, \@\(k\^2\ r\^2\)], {
r, 0, ?}, Assumptions \[Rule] Re[L] < 0 || \@k\^2 ? Reals]]\)

(il y a une petite chance que ce soit la même intégrale qui t'embête)

A+

[invite1c3dc18e]

ça passe pas apparemment... Je peux essayer de résoudre ton intégrale si tu veux dans Mathematica, et t'envoyer la réponse.

[invite68300e07]

Bon Maple en veut pas trop, mais de toute facon, je connais le resultat... c'est la methode qui m'interesse.

juste au cas ou, donc on veut int(BesselJ(0,r*x)/x,x=0..inf)
et r>=0

[invited17825bc]

On veut résoudre
On définit la transformée de Fourier et son inverse par (j'ecris f dans les deux cas même si ce n'est pas correct d'ecrire ça comme ça):


On a donc
En remplaçant cette expression dans l'equation de Laplace et en se rappelant que

on trouve

ce qui donne :

A présent en prenant la TF inverse on obtient :

en choisisant tel que et en écrivant on trouve en utilisant l'invariance selon \phi:

En posant => on trouve

En faisant le changement k->-k dans le deuxieme terme on trouve:

En integrant sur un chemin fermé en évitant k=0 et en utilisant le théorème des résidus on trouve


Voilà c'est le résultat sauf erreur de ma part.
Il est à noter qu'ici la solution en 1/r est à comprendre au sens des distributions dans le sens o`u si on l'utilise sur une fonction test comme une distribution, il faudra garder seulement la partie principale.

Bonjour,

Ce poste date un peu, mais il se trouve que je viens d'effectuer ce calcul de mon côté, mais je n'ai la bonne réponse (qui est 1/(4pi r) ) qu'a un facteur 1/2 près (ie j'obtiens 1/(2pi r)). J'ai fait exactement le meme raisonnement que vous, et il semblerait que vous ayez le meme problème (cfr la dernière ligne de calcul). Quelqu'un pourrait-il indiquer ou se trouve l'erreur? ca fait des heures que je suis dessus...

Merci

[azizovsky]

il a fait une petite erreur

[invited17825bc]

Problème: La bonne réponse est 1/(4pi r), (voir la loi de coulomb, dont le potentiel associé au champ électrique correspond a la fonction de green du laplacien). Il y a un problème avec le facteur 1/2, mais ou?

[yves95210]

Bonsoir,
je pense qu'il manque un au numérateur dans cette intégrale :

en choisisant tel que et en écrivant on trouve en utilisant l'invariance selon \phi:

mais qu'il en manque ensuite un au dénominateur dans la suivante :

En posant => on trouve

ça tombe bien, les manquants se simplifient, donc cette dernière ligne est correcte.
Si ce n'est que je n'ai pas trouvé non plus l'origine du facteur 2 en trop...

[invite93279690]

Désolé. Il y a effectivement une erreur d'un facteur 2 qui ne me saute pas aux yeux a moi non plus (comme signale par Yves, j'ai omis un sinus dans une equation mais il était bien present dans mes calculs et disparait a la ligne d'après par changement de variable). Mais le ciel n'est pas si gris, a en croire ce cours http://houchmandzadeh.net/cours/Math...enFunction.pdf page 4, le probleme pourrait venir de la valeur de la dernière intégrale a calculer qui est la seule chose que je ne calcule pas explicitement ici. Moi je n'ai meme pas de crayon sous la main, est ce que quelqu'un a eu le courage de calculer cette dernière intégrale ?