Voila j'ai du mal a distinguer tout d'abord la différence qu'il existe entre par exemple une fonctione bijective de E dans F (E et F étant des ensembles) et une fonction f de E dans E...
Cette dificulté m'ateint d'autant plus lorsqu'il s'agit de comprendre la différence entre un homomorphisme d'un ensemble dans lui meme (endomorphisme), un hommomorphisme bijectif (isomorphisme) et un homomorphisme bijectifr d'un ensemble sur lui meme (automorphisme)...
Merci
Selon moi par exemple si on a deux ensembles E et F, et une fonction bijectif f de E dans F, cela signifie que quelque soit l'element pris dans F il existe au moins un antecedent par f, et que si on prend deux element distincts dans E leurs image dans F sont distinctes.
Donc pour moi f(E) = F
Or quand on parle d'une fonctione d'un ensemble sur lui meme, ça revient au meme
f(E)=E....
La difference est elle dans le fait que dans une fonction f de E dans E un antecedent peut avoir pls images alors que ça lui est interdit dans une bijection ??
Salut,
L'exemple de la fonction f de E dans E n'est que le cas particulier de la bijection f de E dans F où F=E. Mais ce n'est pas le cas général.
Contre-exemple : prenons E={schroumpf, tartempion} et F={patate, carotte}. Considérons la fonction f qui à schtroumpf associe patate et à tartempion associe carotte. Alors f est bijective de E dans F, mais f n'est pas une application de E dans E. Notre fonction f est un isomorphisme.
Si tu veux un endomorphisme, il suffit de considérer la fonction g de E dans E qui à schtroumpf associe tartempion et à tartempion associe tartempion.
Si tu veux un automorphisme, il suffit de considérer la fonction h de E dans E qui à schtroumpf associe tartempion et à tartempion associe schtroumpf.
Merci, tes explications m'ont quelque peu eclairées, cependant, il me semble que pour parler d'endomorphisme, d'isomorphisme ainsi que d'homomorphisme il faille absolument definir tout d'abord des groupes, par exemple (E,*) et (F,@). Ainsi si f est un homomorphisme de E ds F, f transporte la structure de E dans celle de F.
Il faut donc que f(E) soit un sous groupe.
Or pour que f(E) soit un sous groupe de F il faut qu'il possede d'abord la même loi operative et que les lois sur la restriction f(E) soient identiques que les lois de F...
Or dans ton exemple avec ta fonction je ne vois aucune trace de toutes ces notions
en parrallele, pour savoir, (Z\{0},*) est bien un sous groupe de (R\{0},*) ?
Euh...oui. Je n'ai considéré que les éléments, et pour pouvoir parler de morphismes, c'est plus complexe : il faut avoir une loi de composition interne dans chacun de tes groupes. Et si tes groupes sont (E,*) et (F,@), il faut que f(schtroumpf*tartempion)=f(sch troumpf)@f(tartempion).
Pour (Z\{0},*), il ne s'agit pas d'un groupe, car il faut que tout élément ait un inverse, ce qui n'est pas le cas ici (3€Z\{0} mais pas 1/3). Par contre, (Z,+) est un sous-groupe de (R,+), et (Q\{0},*) est un sous-groupe de (R\{0},*).
Merci c'est deja bcp plus clair dans ma tete.
Est ce que ça te derangerait, de m'expliquer de la même façon les isomorphismes, endomorphisme et les automorphismes ?
paske je n'arrive pas discerner les uns des autres.
J'ai du mal a concevoir comment un homomorphisme peut ne pas etre bijectif
Comme tu l'as très bien fait remarquer tout à l'heure, l'image d'un groupe par un morphisme est un groupe. Si ton application f est un endomorphisme, pour qu'elle ne soit pas bijective il faut que f(E) soit différent de E, donc que f(E) soit un sous-groupe de E distinct de E.
Prenons par exemple comme groupe l'ensemble {-1,0,1} muni de la loi +, et considérons l'application nulle f: x->0. Alors f est un bien un endomorphisme mais n'est pas bijective. Ici f(E)={0} qui est bien différent de E.
Si par exemple je reprends ton exemple. (Q\{0},*) un groupe et (R\{0},*) un autre groupe.
Alors puiske Q est un sous groupe de R, cela implique qu'il existe une fonction qui est un homomorphisme bijectif de Q dans R n'est ce pas ? Car chaque element pris dans R a un seul antécendent dans Q etant donné qu'e les deux ensemble possede le même cardianl...
je me trompe ?
Attention, tu ne peux pas raisonner en cardinal sur des ensembles infinis ! On peut très bien construire une bijection entre N et Z alors que N est strictement inclus dans Z
Ca ne me paraît pas évident, et je serais pas prêt à parier qu'on puisse faire une bijection entre Q et R (je serais même plutôt prêt à parier le contraire...). Pour reprendre l'exemple de mon message précédent, si tu considères la loi +, {0} est un sous-groupe de {-1,0,1} et tu ne peux pas faire de bijection entre les deux, car ils n'ont pas le même cardinal. Par contre, si tu as un sous-groupe F d'un groupe fini E, et si card(E)=card(F) alors tu as forcément E=F.Alors puiske Q est un sous groupe de R, cela implique qu'il existe une fonction qui est un homomorphisme bijectif de Q dans R n'est ce pas ?
Si je reprend ton exemple avec l'endomorphisme, le groupe E est
{-1,0,1}
et le groupe F = E (puisque c'est un endomorphisme).
puiske tu as définit la fonction f(x)=0
Cela signifie que tous les elements de E ont pour image 0, et donc il s'agit bien d'un endomorphisme...
Un endomorphisme bijectif depend donc de la fonction (qui attribue un seul antecedent, a chaque image) ? puiske le cardinal est le meme...
Je ne comprends pas ce que tu veux dire...Un endomorphisme bijectif depend donc de la fonction (qui attribue un seul antecedent, a chaque image) ? puiske le cardinal est le meme...
"tu ne peux pas faire de bijection entre les deux, car ils n'ont pas le même cardinal."
Mais pour qu'il y ait bijection il faut que le cardinal de l'ensemble fini d'arrivé soit egal ou SUPERIEUR a celui de l'ens de depart. Dans ton exemple cela fonctionne.
Ca reviendrait a x=0 et f(x) = 1 ou 0 ou -1 nan ?? Je dis ça mais en même temps je me dis qu'une fonctione définie par un point de coordonnée (0,0) ça n'existe pas
En fait c'est très confu dans ma tête ce qu'il me faudrait ce sont toutes les conditions satisfaisants a chacund es cas possible (endo., iso., Auto.)
Et bien je veux tout simplement dire que s'il existe une fonctione f de E dans lui même, pour que f soit un endomorphisme bijectif cela depend necessairement de la fonction f nan ? si je prend l'ens. E {-1,0,1} muni de la loi de composition interne +.Envoyé par Coincoin
Je peux tres bien construire une fonction de telle sorte que pour tout x € a l'ens. de depart ne corresponde qu'une seul image a l'arrivé, et dans ce cas ce n'est pas un endomorphisme bijectif...
Donc la bijection entre deux ens fini de même cardianl ne depend que de la fonction ?
Non ! Si tu as deux ensembles finis et qu'il existe une bijection entre ces deux ensembles, alors ils ont le même cardinal. Ca se comprend bien : une bijection revient à donner une image différente à chaque élément de ton ensemble de départ. Pour ne pas faire de jaloux, il faut forcément qu'il y ait une image et une seule pour tous les éléments de départ, et donc que l'ensemble d'arrivée ait le même nombre d'éléments que l'ensemble de départ.Mais pour qu'il y ait bijection il faut que le cardinal de l'ensemble fini d'arrivé soit egal ou SUPERIEUR a celui de l'ens de depart
Oui jke suis d'accord mais si l'ensemble d'arrivé est plus grand que celui de depart, alors ils propose encore plus d'image pour chaque antecedent, et fera encore moins de jaloux. Je ne comprend pas pk ça ne fonctionne pas...
Euh... oui, on peut voir ça comme ça. Disons plutôt qu'un endomorphisme peut aussi bien être a priori bijectif que non-bijectif.Donc la bijection entre deux ens fini de même cardianl ne depend que de la fonction ?
Tu as raison, essayons de clarifier tout ça.ce qu'il me faudrait ce sont toutes les conditions satisfaisants a chacund es cas possible
Un morphisme est :En espérant que ça t'aidera à mieux y voir... Et dans ce genre de cas, il n'y a rien de mieux que de dessiner des patates pleines de croix
- Un endomorphisme, si l'ensemble d'arrivée est inclus dans l'ensemble de départ
- Un isomorphisme, si il est bijectif. Cela signifie que chaque élément de l'ensemble de départ a une et une seule image, ou encore que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent. Pour des ensembles finis, cela impose que l'ensemble de départ et son image aient le même cardinal
- Un automorphisme, si il est à la fois un endomorphisme et un isomorphisme. Cela implique que l'image de l'ensemble de départ est lui-même.
Une fonction, par définition, associe une et une seule image à chacun de tes éléments...ils propose encore plus d'image pour chaque antecedent, et fera encore moins de jaloux. Je ne comprend pas pk ça ne fonctionne pas...
Ca implique que pour des ensembles finis, card(f(E))=<card(E). Et si card(f(E))=card(E) alors ton morphisme est bijectif.
^_^ ouais, j'ai deja vu ce genre de méthode sur internet, mais moi je dessine tout dans ma tête c'est comme ça que j'y vois plus clair...
Bref , ça m'aide bcp effectivement, il me reste qu'une seule question, tu as di qu'un endomorphisme ==> l'esnebme d'arrivée est superieur a l'ens. de départ. Or sur ma feuille il est dit qu'un endomorphisme est un homomorphisme d'un ensemble dans lui même, donc de même cardinal... nan ?
Non, dans le cas d'un endomorphisme, l'ensemble d'arrivé est inclus dans l'ensemble de départ. Reprenons notre groupe de tout à l'heure : {-1,0,1} (on supposera que 1+1=1 parce que je viens de me rendre compte que sinon c'est pas un groupetu as di qu'un endomorphisme ==> l'esnebme d'arrivée est superieur a l'ens. de départ), et l'application nulle. Alors l'ensemble d'arrivée est {0} et est bien inclus dans l'ensemble de départ. Le fait qu'il soit strictement inclus nous indique que f n'est pas une bijection (car les ensembles sont finis). Mais si tu prends par exemple f telle que f(x)=-x, alors f(E)={1,0,-1}=E (l'ordre n'a pas d'importance). Donc ce nouveau f est une bijection.
Pour répondre à une question précédente:
S'il existe une bijection entre Q et R alors il en existe une entre N et R puisque Q et N sont en bijection, ce qui semble pas totalement vrai....
Ne pas confondre ensemble d'arrivee et image. L'ensemble d'arrivee d'un endomorphisme est bien egal a l'ensemble de depart, mais son image peut etre strictement incluse dans l'ensemble d'arrivee.
Ha d'accord c'est a dire qu'un endomorphisme est définie par exemple comme suit:
E {-1, 0, 1} un ens. (E,*) un groupe.
E --> E
f(x) = 0
Alors dans ce cas l'ens. d'arrivée est le même que celui de départ, cependant la fonction n'est pas bijective car chaque antécedent possede la même image.
Cependant si on prend la fonction f(x)= x par exemple alors l'endomorphisme est bijectif car f(E)=E, c'est ça que l'on nomme un automorphisme n'est ce pas ??
PAr contre je n'ai pas tres bien saisie la bijection de Q dans R et de N dans Q... qui pourrait clarifier SVP ? On parle de Q, R et N ou bien de (Q\{0}), (R\{0}, (N\{0})... ?
Mea culpa ! Tu as tout à fait raison de me le faire remarquer, je vais essayer d'être plus rigoureux.Ne pas confondre ensemble d'arrivee et image
Oui, tout ce que tu as dit est juste. Par contre, je ne sais pas si c'est accepté par les matheux rigoureux, mais moi je préfère parler d'élément de l'ensemble de départ que d'antécédent. On parle de l'antécédent de quelque chose...n'est ce pas ??
Pour ce qui est des bijections entre N, Z et Q, on parle de bijection et non pas d'isomorphisme, donc il n'y a même pas besoin d'avoir une structure de groupe. Le fait que ces bijections existent montrent que la propriété "si F est un sous-ensemble de E et si il existe une bijection entre E et F alors E=F" ne marche que pour des ensembles finis (car pour la montrer il faut considérer le cardinal).
Pour ce qui est de la construction de ces bijections, pour celle de N dans Z, on peut par exemple prendre l'application :
0->0
1->1
2->-1
3->2
4->-2
...
Pour celle de N dans Q, je ne me rappelle plus bien, mais je crois qu'on peut faire quelque chose du genre :
0->0
1->1
2->-1
3->1/2
4->-1/2
5->1/3
6->-1/3
7->2/3
8->-2/3
...
Par contre, ce que Quinto dit c'est que Q et R ne sont pas en bijection car N et R ne le sont pas... (mais là je ne suis plus sûr de ce que j'avance)
R n'est pas dénombrable donc il peut aps etre en bijection avec N
Argh, c'est vrai, j'avais oublié...
Pour la démonstration, voici un lien sur la diagonale de Cantor : http://www.sciences-en-ligne.com/mom...ag_cantor.html
