Bonjour,
le but de ce fil est de proposer cette démonstration pour combler une lacune dans le fil "classique parmi les classiques" dans lequel cette inégalité a été évoqué mais démontrée que dans les cas "triviaux" (tous ramenés à un seul cas).
J'ai opté pour une démonstration géométrique plus qu'analytique car je trouve qu'elle permet de mieux voir le pourquoi du résultat bien que cela allonge la rédaction.

Montrer que

1er cas, a, b et c ne sont pas tous strictement positifs
On ne suppose rien dans ce cas sur b²-4ac, le problème est alors symétrique en a, b, c.
On peut donc supposer que
d’où

2ème cas a, b et c sont strictement positifs
On pose

On a :

Le problème revient à montrer que :


On considère a*, b*, et c* comme les coordonnées barycentriques à somme unitaire des sommets d’un triangle équilatéral A, B, C.
Les points de coordonnées (a*, b*, c*) sont les points intérieurs de ce triangle en excluant les points tels que b*²-4a*c*<0. ces points seront dits à l'intérieur de la parabole, les autres sont dits à l'extérieur (un point de la parabole est donc aussi considéré comme extérieur qui est pris dans un sens large).
La parabole d’équation b*²-4a*c* passent par A et C est symétrique par rapport à la médiane BJ du triangle ABC passant par B. Son sommet est en un point de coordonnées (a*,b*,a*) ce qui donne b*²-4a*²=0 b*=2a* (ils sont >0) et a*+b*+c*=a*+2a*+a*=4a*=1 donc a*=c*=1/4 b*=1/2. ce point est à l’intersection de la médiane BJ et de la droite des milieux (IK) parallèles à (AC) (I, K milieu respectif de [BC], [AB])
En posant M le point de coordonnées (a*, b*, c*) et G le centre de ABC
On a
a) L'intersection de AKGJ et de l'extérieur de la parabole est un triangle curviligne plein AKM. En effet :
i) G et J sont à l'intérieur de la zone b*²-4a*c*<0 donc la parabole ne coupe pas [GJ] ;
ii) la parabole coupe (AJ) en A et C donc ne coupe [AJ] qu'en A ;
iii) Pour un point de [AK], ses coordonnées sont (a*,b*,0) donc la parabole ne coupe qu'en le point pouvant vérifier b*²=0 càd b*=0 et a*=1 i.e. A (BA est tangent à la parabole).
iv) La parabole coupe en deux points la médiane GK en C et un point M de coordonnées (b*,b*,c*) vérifiant b*²-4b*c*=b*(b*-4c*)=0 or b* est non nul donc b*=4c*, il s'en suit que a*=b*=4/9 et c*=1/9.
La parabole ne coupe donc le polygône AKJO qu'en A et M d'où le résultat.
Pour ce lieu, M est le point de coordonnées (a*, b*, c*) pour lequel a*=max(a*,b*,c*) est le plus petit.
En effet, pour cela il suffit de montrer que le traingle curviligne AKM est du même côté que A par rapport à la parallèle DM à (BC) passant par M. Or, ce triangle curviligne est inclus dans le triangle AGK car [AM] est dans l'intérieur de la parabole car cette dernière est convexe. A et K ont des coordonnées (a*, b*, c*) tels que a*>4/9 donc tous les points de AKM, hormis M, sont du même côté par rapport à DM.
Pour cette zone, Min(max(a*,b*,c*))=4/9 et est atteint en M.

b) Dans l'intersection de CIGJ et de l'extérieur de la parabole, on a min(max(a*,b*,c*))=4/9 atteint en N.
Par symétrie par rapport à la médiane (BJ), on se retrouve dans le cas précédent.

c) Dans l'intersection de BKGI et de l'extérieur de la parabole, on a min(max(a*,b*,c*))=4/9 atteint en M et N.
Cette intersection est incluse dans le polygône BKMNI
La parabole ne coupe (BK) qu'en A donc ne coupe pas [BK]. De même, la parabole ne coupe pas [BI].
La parabole coupe (GK) en M et en C donc ne coupe [GK] qu'en M. De même, la parabole ne coupe [GI] qu'en N.
Donc l'intersection est le polygône plein curviligne BKMNI qui est inclus dans le polygône plein BKMNI car l'intérieur de la parabole est convexe.
Les points B, K, I ont des coordonnées (a*, b*, c*) telles que a*=1 ou 1/2 donc a*>4/9. Pour les points du segment [MN], on a*=4/9. Donc B,K,I sont du même côté par rapport à (MN), il en est donc de même des points du polygone. Or, (MN) parallèle à (AC) donc min(max(a*,b*,c*)) sur ce polygone est égal à 4/9 atteint en les points de [MN] dont seuls M et N sont à l'extérieur de la parabole. D'où le résultat.

A vos commentaires
i) sur la démo
ii) est-ce vraiment un classique ?