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statistiques : ajustement graphique



  1. #1
    whaou
    Bonjour à tous...

    j'ai une petite question....
    Lorsque l'on a une serie statique qui donne lieu à un nuage de point...
    l'intérêt serait de trouver une relation entre ses points... cette relation se fait généralement en essayant de déterminer (lorsque c'est le cas) l'equation d'une droite, lorsque ce nuage de point "à la forme d'une droite" ..
    cet ajustement graphique peut se faire par plusieurs méthodes, dont LA METHODE DES MOINDRES CARRES......

    Quelqu'un peut il me dire en quoi consiste cette méthode... y'a til une formule, comment peut on déterminer l'equation d'une droite par cette méthode......
    Tout ce que je sais, c'est que c'est en rapport avec la Variance....

    Merci d'avance...
    ***WhAoU***

    ...bon courage à tous ceux qui passent leurs bacs...

    -----

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  3. #2
    Marc
    Soient (xi ; yi) le nuage de points.
    On cherche f(x) = ax + b , la droite la plus proche des points, c'est à dire qui minimise la somme de toutes les distances au carré à la droite. Bien sûr, c'est a et b les inconnues.

    On cherche donc à trouver le minimum (a ; b) de la fonction D(a ; b) = SOMME des (yi - axi - b)²

    La recherche de ce minimum te conduit à un système d'équations en a et b, et voilà :P

    Marc

  4. #3
    whaou
    ... J'avoue que comme ça..... ça me dit rien.... mais je vais me pencher sur le sujet....
    je croyais qu'il y avait un rapport avec la variance... mais bon, j'ai dù rêver...

    Merci beaucoup
    ***WhAoU***

  5. #4
    vince
    Bon, la méthode des moindres carrées consiste à trouver la droite qui minimise la distance moyenne entre les points et la droite.

    En gros tu traces une droite au hasard, tu calcules pour chaque point la distance à cette droite (en fait tu calcules le carré de la distance pour virer les resultats négatifs suivant si le point est au-dessus ou en-dessous de la droite). Tu fais la moyenne de toutes ces distances et tu recommences avec une autre droite.
    La "bonne" droite est celle qui donnera la moyenne minimale.

    Là où on peut parler de variance c'est que la variance est la moyenne des écart à la moyenne (au carré). C'est bien ce qu'on fait là : on évalue la moyenne des écarts à la droite moyenne.

    Me suis-je bien fait comprendre? je n'en suis pas sûr... :?

    V

  6. #5
    whaou
    Si si , j'ai bien compris.... Merci beaucoup...

    Theoriquement, j'ai parfaitement saisi le but, l'objet de la methode des moindre carré.....
    cependant, je crois qu'il y a une formule pour calculer la pente (m) et le coeficient a de l'equation de la droite y= ax + m... tout comme il existe une formule pour calculer le coefficiant de correlation lineaire d'une serie satitique double (x,y)... (dont le but est également de voir si le nuage de point correspond à une droite...)
    Pour ce coeff, c'est covariance(x,y) / [ecart type (x) X ecart type(y)]

    Il me semble avoir vu deja quelque part une formule de ce genre pour la methode des moindres carrés..

    Car, sans formules, cela risque d'etre long (????) pour calculer m et a.....

    Demain, je vais à la bibliothèque et je vais fouiller dans les bouquins de maths....

    Si quelqu'un a une idée sur cette formule......

    Merci beaucoup...

    ***WhAoU***

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Marc
    Si on poursuit ma première explication (qui est en accord avec celle de Vince), je pense que c'est ça :

    a * Somme des (xi)² - Somme des (xiyi) + b * Somme des (xi) = 0
    n * b - 2 * Somme des (yi) + a * Somme des (xi) = 0

    Tu résouds le système, et tu trouves une formule.
    (ici, la droite cherchée est y = a*x + b)

    Marc, qui ne garanti pas ops:

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  10. #7
    whaou
    Salut...

    je vous remercie, Marc et Vince, pour toutes ces infos... je file à la bibliothèque pour étudier ça d'un peu de plus près...
    Je ferais un essai...


    Dernière question..... beaucoup moins "prise de tête"....
    lorsqu'on parle de médiane, on me dit que c'est : "la valeur qui divise la série stat en deux"....cependant dans un exemple, la médiane donné a la valeur du mode (classe qui comprend le plus d'individus)...


    un exemple:
    .........dans un immeuble, on compte le nombres d'enfants par famille:
    nbr d'enfant: 0 1 2 3 4 5 6
    nbr de familles: 13 17 21 6 4 2 1

    (désolé, les chiffres ne figure pas l'un en face de l'autre... le 0 va avec le 13, le 1 avec le 17... et ainsi de suite...)

    Ici, le mode est 2...dans mon exemple, on me dit que la médiane est aussi 2... hors, la valeur 2 ne divise pas la série stat en deux partie egale...je me trompe???

    ici, la médiane ne serait elle pas 3....???????

    Si vous pouviez m'éclairer à ce sujet... ce serait super sympa...

    Merci...
    ***WhAoU***[/u]

  11. #8
    kinette
    Hello whaou,
    Bon ta médiane est bien 2.
    Si tu additionnes tes classes de 3 à 6, tu as 13 familles, donc autant que dans la classe 0 enfants.
    Donc ta médiane se trouve entre la classe 0 enfant et la classe 3 enfants.
    Come la classe 2 enfants est plus importante que la classe 1 enfant c'est donc elle qui constitue la médiane.

    Bon j'espère que j'ai été claire,
    Bon courage,

    K. aux sinus...
    Nomina si nescis, perit et cognito rerum.

  12. #9
    whaou
    Ok, j'ai bien compris, tout est clair merci....

    ça y est j'ai trouvé, la solution à mon problème pour la methode des moindres carrés...... voilà, j'explique...
    soit une serie statistique double (x; y) qui engendre un nuage de point... on cherche une droite de regression d'equation y= ax+b de x en y...

    voici la formule pour calculer a , la pente :

    a = [somme (Xi - Xmoy)( Yi - Ymoy )] / [somme (Yi - Ymoy)² ]

    Avec Xi et Yi , les differentes valeurs des series... et Xmoy et Ymoy, les valeurs moyenne des series X et Y...

    si on cherche la droite de y en x... il suffit de changer le dénominateur par [somme (Xi-Xmoy)²]

    Et voilà, on a la pente de cette fameuse droite...
    ensuite, sachant que cette droite passe par le point milieu P(Xmoy; Ymoy) , il ne nou reste plus qu'à calculer le coefficiant b...

    Et...... on a notre equation......
    il ne manquait que la formule...

    Merci encore pour votre aide

    ***WhAoU***

  13. #10
    jeanmi66

    Re : statistiques : ajustement graphique

    Salut tout le monde.

    Les moindre carrés, c'est génial mais existe t il un petit logiciel ou un programme qui fasse les calculs rapidemment parce quand le nuage est grand, quelle temps à passer !!!

    Merci à tous.

  14. #11
    Marc

    Re : statistiques : ajustement graphique

    Citation Envoyé par jeanmi66
    Salut tout le monde.

    Les moindre carrés, c'est génial mais existe t il un petit logiciel ou un programme qui fasse les calculs rapidemment parce quand le nuage est grand, quelle temps à passer !!!

    Merci à tous.
    Oui : Excel

    Marc

  15. #12
    jeanmi66

    Re : statistiques : ajustement graphique

    Citation Envoyé par Marc
    Oui : Excel

    Marc
    Bonsoir,

    vous pourriez me dire où dans excel, je l'ai pas trouvé dans les fonctions.

    Merci

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  17. #13
    cricri

    Re : statistiques : ajustement graphique

    d2 a d7 les x
    c2 a c7 les y
    =DROITEREG( D27;C2:C7) donne le a de y =ax+b

    =INDEX(DROITEREG( D27;C2:C7);2) donne le b
    =INDEX(DROITEREG( D27;C2:C7);1) donne le a

    sinon tu peux aussi faire un graphique (nuage de point) puis selection un point click droit ajouter courbe de tendance lineaire click afficher l equation dans l onglet options

    heu le verie happy c est : D coller lol

  18. #14
    jeanmi66

    Re : statistiques : ajustement graphique

    OK pour excel mais donc, la reponse est l'équation de la droite lineaire mais alors ca donne comme solution tous les pts de la droite ! Moi je cherche comme solution de mon nuage 1 jeu X,Y. Ou doit-on alors choisir ce jeu sur cette droite ? Pas n'importe où quand meme ?

    Merci d'avance et merci pour les reponses précédentes.

  19. #15
    cricri

    Re : statistiques : ajustement graphique

    je comprend pas
    soit tes points forment en gros une droite et donc t as l equation
    et tu peux extrapoler en dehors de tes points statistique

    la droite te permet de calculer un Y en fonction d un X

    soit tous tes points sont par exemple dans un cercle et aucune raison de chercher une droite

    j ai l impression que tu cherche le centre de ton nuage

  20. #16
    jeanmi66

    Re : statistiques : ajustement graphique

    Si c'était le cas, comment faire pour le centre du nuage ? Au fait, le calcul sur excel dans les messages ci-dessus ne donne pas un bon "b". Si je donne X et Y, qqun pourrait-il vérifier ?

  21. #17
    cricri

    Re : statistiques : ajustement graphique

    arf erreur de ma part c est droitereg( y ;x ) et non pas droitereg(x;y)

  22. #18
    jeanmi66

    Re : statistiques : ajustement graphique

    Oui, je sais que X et Y était inversé mais j'avais déjà fait la modif dans la formule et le b est toujours faux. le a est juste. (j'ai fais des essais sur un logiciel CAOet des coordonnées, la pente est bonne mais pas le b).

    question 1 - je sais pas où est l'erreur pour excel ?
    question 2 - comment trouver le centre du nuage de pts ?

    Merci d'avance.

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  24. #19
    jeanmi66

    Re : statistiques : ajustement graphique

    Désolé, j'ai trouvé mon erreur sous excel, ça marche, mais il me reste 2 questions:

    1- comment trouve t on alors le centre d'un nuage de points ?
    2- sur ma droite d'ajustement par moindres carrés, si je prends un point située sur celle-ci qui se trouve au milieu de la distance (suivant la droite) séparant les 2 points extrême de mon nuage, ce point représente-t-il une moyenne spécifique et d'un quelquonque intérêt ?

    Merci encore

  25. #20
    alaink

    Re : statistiques : ajustement graphique

    Le centre (x0,y0) du nuage de point est le barycentre:

    x0= 1/N* somme(xi)
    y0= 1/N* somme(yi)
    ou N est le nb de points.

    La droite des moindres carrés doit passer par le barycentre, donc si on connait "a" on a:
    y0= a*x0+b
    donc b= ... a toi de le calculer, j'ai passé l'age de faire des devoirs de stats

  26. #21
    cricri

    Re : statistiques : ajustement graphique

    il me semble qu il y a 2 droite de regression non ?
    elle se croise au centre ?

  27. #22
    jeanmi66

    Re : statistiques : ajustement graphique

    Ha bon ! S'il y a deux droite de regression, qqun pourrait-il me dire comment calculer la seconde ?

    Merci

  28. #23
    cricri

    Re : statistiques : ajustement graphique

    http://www.math-info.univ-paris5.fr/...sd/node13.html

    bon je te laisse le soin de la calculer

  29. #24
    jeanmi66

    Re : statistiques : ajustement graphique

    y a pas sous excel la possibilité de le calculer ? (car la fonction de DROITEREG est pour reduire les ecarts verticaux, pas horizontaux)

    Merci

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  31. #25
    cheria2005

    Re : statistiques : ajustement graphique

    salut tous le monde .
    je lance un dés 100 fois et je calcule les frquences fi des nombres 1,2,3,4,5,6 .

    et je calcule D² la somme des (fi - 1/6)² .
    je refais le jeux 100 fois et je fais les meme calculs
    mais en excel j'ai pas trouve la fonction qui refaire le jeux et calcul D²
    tout ça pour savoir si le des n"est pas truqué.
    svp j'ai besoin de votre aide .


    merci.

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