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Polynomes difficiles...



  1. #1
    maxou

    Unhappy Polynomes difficiles...


    ------

    S'il vous plait aidez moi il faut que je résolve léquation 4x^4-8x^3-141x² +2x +35=0 en partant du fait qu'elle admet deux racines opposées
    et 6x^3-29x²-8X+15=0 et 10x^3 -39x² -61x+30=0 en partant du fait qu'elle admet deux racines opposées

    EtP(x)=6x^4-35x^3+62x²-35x+6
    il faut que je montre que si le réel alpha est une racine de P alors alpha n'est pa nul et 1/alpha est aussi une racine de P.
    Et x étant nul déterminer Q(x) tel que l'on ait P(x)=x²Q(x)
    et QA n'étant pa un polynome
    Puis montrer que P(x)=0 équivaut à Q(x)=0
    On pose X=x+1/x,déterminer R(X)=Q(x)
    Enfin résoudre R(X)=0 et en déduire les solutions de l'équation 6x^4-35x^3+62x²-35x+6=0.
    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    justine&coria

    Re : Polynomes difficiles...

    2 des 3 messages que t'as écrit sur ce forum ont été pour demander de l'aide pour tes devoirs maisons. Mais bon, c'est pas grave (et je suis pas modérateur ).

    Pour les premières équations (du 4e degré) : tu écris : "soit a un nombre réel tel que a et -a sont racines du polynôme". Alors tu peux écrire : 4a^4 - 8a^3 ... = 0 et 4(-a)^4 - 8(-a)^3 = 4a^4+8a^3 ... = 0.
    Tu additionnes les 2 équations membre à membre : tu peux alors déduire la valeur de a !
    A présent, ton polynome du 4e degré : tu peux le factoriser par (x-a)(x+a). Puis, c'est tout simple car il ne restera plus qu'à trouver les racines d'un trinôme.


    En ce qui concerne P(x) : tu écris "soit alpha un réel différent de 0, qui est une racine de P." Donc P(alpha) = 0.
    Ensuite essaie de calculer P(1/alpha) en essayant de faire apparaître P(alpha).

    Pour la suite, on verra plus tard.

  3. #3
    Sharp

    Re : Polynomes difficiles...

    Salut,
    4x^4-8x^3-141x^2 +2x +35=0
    Comme il y a deux racines opposées, on note r la racine, (-r) est donc racine aussi.
    Donc
    4r^4-8r^3-141r^2 +2r +35=4(-r)^4-8(-r)^3-141(-r)^2+2(-r)+35

    4r^4-8r^3-141r^2 +2r +35=4r^4+8r^3-141r^2-2r+35

    -16r^3 + 4r=0

    4r^3=r
    4r^2=1 pour rdifférent de 0

    Donc r=1/2 ou r=-1/2.

    A partir de là, tu peux factoriser par (x-1/2) et par (x+1/2), donc il va te rester une équation de degré 2 que tu sais résoudre je pense.
    Pour les autres équations, je pense qu'il faut employer la même méthode.

  4. #4
    Lataupeben

    Re : Polynomes difficiles...

    Pour le 2eme on c'est que la racine commune est 5 mais pourquoi?

    soit r la racine commune si on factorise les deux equation par (x-r)
    on arrive par a resoudre le systeme

    Merci de nous aider

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Lataupeben

    Aide

    Personne ne veut nous donner une piste?

  7. #6
    shokin

    Re : Polynomes difficiles...

    1] Soit l'équation :

    4x^4-8x^3-141x² +2x +35=0 (du 4ème degré donc au plus 4 solutions distinctes)

    Si j'admets qu'elle admet deux solutions opposées, soient r et -r ces deux solutions.

    4r^4-8r^3-141r² +2r +35=0=4(-r)^4-8(-r)^3-141(-r)² +2(-r) +35=0

    Donc 16r^3-4r=0, donc 4r(2r+1)(2r-1)=0

    Nous avons donc 3 nombres r tels que f(r)=f(-r), 0, 1/2 et -1/2.

    Comme f(0) inégal à 0, il ne reste que 1/2 et -1/2.

    4x^4-8x^3-141x² +2x +35=0

    =(x+1/2)(x-1/2)*... =0

    En effectuant (4x^4-8x^3-141x² +2x +35)/(x^2-1/4), je trouve

    =(x+1/2)(x-1/2)(4x^2-8x-140) =0
    =4(x+1/2)(x-1/2)(x-7)(x+5) =0

    D'où les 4 solutions : -5, -1/2, 1/2 et 7.

    2] 6x^3-29x²-8x+15=0

    =6x^3-30x^2+x^2-5x-3x+15=0 (je vois pas d'autres moyens, peut-être en avez-vous)

    (x-5)6x^2+(x-5)x+(x-5)(-3)=0

    (x-5)(6x^2+x-3)=0

    En résolvant l'équation du second degré, tu trouves -2/3 et1/2.

    3] 10x^3-39x²-61x+30=0 idem

    Mais comment sait-on que les deux ont pour racine commune 5, était-ce dans la donnée du problème ? (toujours est-il que ça marche)

    En admettant que oui, qu'on nous ait dit que les deux équations 2] et 3] avaient une racine commune :

    6x^3-29x²-8X+15=0 et 10x^3 -39x² -61x+30=0

    Soit r tel que r soit une solution commune à ces deux équations :

    6r^3-29r^2-8r+15=0=10r^3-39r^2-61r+30

    30r^3-145r^2-40r+75=0=30r^3-117r^2-183r+90 (0*m=0 pour tout m réel)

    -145r^2-40r+75=-117r^2-183r+90

    28r^2-143r+15=0

    L'on trouve 5 et -3/28. Cette dernière ne marche pas (solution rajoutée qui marche dans la comparaison des premières équations).

    6x^3-29x²-8X+15=0 et 10x^3 -39x² -61x+30=0

    Par divisions euclidiennes par x-5, l'on obitent :

    (x-5)(6x^2+x-3)=0 et (x-5)(10x^2+11x-6)=0

    Ce qui nous donne pour solutions :

    Pour la première équation : -2/3, 1/2 et 5
    Pour la deuxième équation : -3/2, 2/5 et 5.

    4] P(x)=6x^4-35x^3+62x²-35x+6

    Si alpha était nul, P(alpha)=6, tout simplement.

    C'est un polynome de la forme ax^4+bx^3+cx^3+bx+a.

    On peut diviser par x^2 car P(0) non nul.

    ax^2+bx+c+b/x+a/x^2=0

    a(x^2+1/x^2)+b(x+1/x)+c=0

    a(((x+1/x)^2)-2)+b(x+1/x)+c=0

    ay^2+by+c-2a=0 avec y=x+1/x

    6y^2-35y+62-12=0
    6y^2-35y+50=0

    Ce qui nous donne pour y : -20/3 et -5

    Comme y=x+1/x, on obtient pour x : (-10+-Racine(91))/3 et (-5+-Racine(21)/2

    [Si y=x+1/x, soit z=1/x, y=z+1/z, donc si alpha est solution, son inverse aussi]

    A moins que vous ne remarquiez des erreurs, à corriger.

    Pour ce qui est du Q(x), je laisse à ceux qui ont compris.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  8. #7
    Lataupeben

    Re : Polynomes difficiles...

    on ne sait pas que racine de 5 est la racine commune aux deux trinome,nous avions juste su la déduire par tatonnement,c'est justement la prouver par un calcul que nous n'arrivons pas à faire!merci de nous aider demain,il sera trop tard!

  9. #8
    Antikhippe

    Re : Polynomes difficiles...

    'lut
    le mieux c'est le triangle de Pascal
    sa marche a tous les coups pour la factorisation...

  10. #9
    tazeen

    Question Re : Polynomes difficiles...

    bonjour a tous
    c'est quoi cette méthode du triangle de pascal, j'en ai jamais entendu parler...?
    merci @ +

  11. #10
    Antikhippe

    Re : Polynomes difficiles...

    Salut,

    Ca n'a rien à voir avec le prolème posé. En fait, ce n'est pas moi qui est donné la réponse, c'est un copain qui m'a fait un sale coup... dans mon dos.

  12. #11
    tazeen

    Re : Polynomes difficiles...

    d'accord je vois...
    tu as des mauvaises fréquentations!

    à +

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