2 ex vrément dificile

[invitebe100b06]

jai 2 exercice de math que je ne compren pa tres bien
pouvez vous au moins me mettre sur la voie pour trouvé la solution
les voici:

1 ex
[AC] et [BD] sont deux segments qui se coupent perpendiculairement en O. Démontrer que AB au carré + DC au carré = AD au carré + BC au carré.

2ex
Titre: Les deux tours
Le problème ci-dessous est extrait d'un ouvrage d'algèbre du mathématicien allemand Christophe Rudolff qui a introduit le symbole de la racine en algèbre.

Deux tours sont éloignées de 60 toises. La hauteur de l'une est égale à 50 toises, celle de l'autre à 40 toises. Entre les deux tours, il y a une fontaine qui est à la même distance des sommets des deux tours. A quelle distance des deux tours la fontaine se trouve t'elle?

je vou rapele que je sui en 4eme

merci de votre compréhension
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[invite88ef51f0]

Salut,
Je parie que tu es train de faire un cours sur le théorème de Pythagore. Me trompe-je ?

[shokin]

1)

AC] et [BD] sont deux segments qui se coupent perpendiculairement en O. Démontrer que AB au carré + DC au carré = AD au carré + BC au carré.

Tu prends l'un des segments qui relie O à un des sommets, par exemple OA.

Par Pythagore : tu trouves OB en fonction de OA et AB.

Par Pythagore : tu trouves OC en fonction de OB et BC.

Par Pythagore : tu trouves OD en fonction de OA et AD.

Par Pythagore : tu trouves CD en fonction de OC et OD.

Magique ! (et pourtant c'est un connu, du moins qui m'a souvent été utile).

Quod Erat Demonstrandum !

2)

Deux tours sont éloignées de 60 toises. La hauteur de l'une est égale à 50 toises, celle de l'autre à 40 toises. Entre les deux tours, il y a une fontaine qui est à la même distance des sommets des deux tours. A quelle distance des deux tours la fontaine se trouve t'elle?

Tu peux prendre x la distance entre la première tour et la fontaine. Donc 60-x, la distance entre la deuième tour et la fontaine.

Tu as deux triangles rectangles dont l'hypoténuse est la même, que tu peux appeler y. Mais tu peux directement dire (comme leurs hypoténuses sont égales) en choeur : "La somme des carrés des cathètes de ce triangle égale la somme des carrés des cathètes de cette autre triangle."

Et résoudre l'équation !

Shokin

[shokin]

Ah ! le théorème de Pythagore !

Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe100b06]

OB au carré = AM au carré - AO au carré. OB = racine de OB au carré
OC au carré = CB au carré - BO au carré. OC = racine de OC au carré
OD au carré = DA au carré - AO au carré. OD = racine de OD au carré
CD au carré = CO au carré + DO au carré. CD = racine de CD au carré.

Mais je ne comprend coment démontrer que AB² + DC² = AD² + BC²

Pour le deuxième exercice, je ne comprend pas comment trouver la valeur de x et de y .

Merci come meme pour ton aide

Pour répondre a coincoin, nou somes en train de faire un chapitre sur les cercle circonscri et sur le téoreme de pitagore

[shokin]

OB au carré = AB au carré - AO au carré. OB = racine de OB au carré
OC au carré = CB au carré - BO au carré. OC = racine de OC au carré
OD au carré = DA au carré - AO au carré. OD = racine de OD au carré
CD au carré = CO au carré + DO au carré. CD = racine de CD au carré.

Ce qui est en italique n'était pas nécessaire.

OB^2=AB^2-AO^2

OC^2=BC^2-BO^2=BC^2-(AB^2-AO^2)= BC^2+AO^2-AB^2

OD^2=DA^2-AO^2

Donc :

CD^2=(BC^2+AO^2-AB^2)+(DA^2-AO^2)

=AD^2+BC^2-AB^2

Donc :

AB^2+CD^2=AD^2+BC^2

CQFD

Et pour le deuxième exercice, sais-tu résoudre un système de deux équations (du premier degré) à deux inconnues ? sais-tu poser l'équation ? si non, entraîne-toi, avec x, la distance de la première tour à la fontaine, et y la distance de la fontaine à chacun des sommets. Tire parti des donnéles que tu as, et du théorème de Pythagore.

Sinon tu faire autrement :

Si y est la distance de la fontaine à chacun des deux sommets, racine(y^2-40^2) et racine(y^2-50^2) sont les distances respectives de chaque pied de tour à la fontaine. et comme leur somme égale 60, tu poses l'équation, et la résouds.

Shokin

[invitea3eb043e]

Pour le 1er exo, commence donc par écrire le théorème de Pythagore partout où tu peux et, ô merveille....

[invite39dcaf7a]

'lut
je pense que pour le premier exo il est plus facile d'appliquer la méthode de Gauss

[invite980a875f]

Salut,
pour le deuxième:
Soit A la base de la tour de gauche et B son sommet. On a AB=50
Soit D la base de la tour de gauche et E son sommet. On a DE=40
On a aussi AD=60
Soit C le point où est située la fontaine. J'appelle x la distance AC, et donc la distance DC est égale à (60-x)
D'après l'énoncé, on a BC=EC. En mettant au carré: BC^2=EC^2
Or BC^2=AC^2+AB^2 et EC^2=CD^2+DE^2
Donc:
AC^2+AB^2=CD^2+DE^2
En mettant avec les valeurs et les x:
x^2+50^2=(60-x)^2+40^2
Tu isoles x et c'est bon!