Puissance d'un nombre

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me suis demandé il y a quelques temps ce que représentait exactement un nombre à la puissance n, avec n irrationnel...(Comme pi par exemple.)

Parce qu'on a pour n un entier naturel xⁿ = x.x.x...x n fois. Puis pour q un rationnel, on peut écrire .

Mais qu'en est-il pour un irrationnel ? Existe-t-il une expression générale qui exprime un nombre à une puissance quelconque ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2
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[chatelot16]

c'est simple il suffit de prendre une bonne machine a calculer ...

plus serieusement c'est grace aux logarithme que l'on peut multiplier 3.14 fois un nombre par lui meme

[Bloud]

Salut

Pour x réel :

.

Cordialement

[invite35452583]

Bonjour à tous,

Je me suis demandé il y a quelques temps ce que représentait exactement un nombre à la puissance n, avec n irrationnel...(Comme pi par exemple.)

Parce qu'on a pour n un entier naturel xⁿ = x.x.x...x n fois. Puis pour q un rationnel, on peut écrire .

Mais qu'en est-il pour un irrationnel ? Existe-t-il une expression générale qui exprime un nombre à une puissance quelconque ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2

Il existe une expression générale mais elle utilise deux fonctions que tu n'as, du moins je pense, jamais vu : l'exponentielle et le logarithme. Avec celle-ci, on a pour x>0 et y : x^y=e^yln(x) je ne crois pas que ça t'avance beaucoup.
Plus compréhensible : soit x un réel >1, y un réel quelconque, on a pour deux rationnels r<y<r' x^r<x^r', ceci incite à vouloir que xy soit entre ces deux valeurs mais y a-t-il un réel qui soit toujours entre les deux ? s'il existe est-il unique
Or si on fait tendre r en croissant vers y et r' en décroissant vers y, alors x^r tend en croissant vers une limite L, et x^r' tend en décroissant vers une limite L', et il se trouve que L=L'. La réponse à la question précédente est donc oui. (Ce n'est pas trivial).
x^y est cette limite commune L=L'.
Pour x=1, il n'y a pas de difficulté 1^y=1 pour tout y.
Pour 0<x<1, on a cette fois x^r'<x^r x^r tend en décroissant vers une limite L, x^r' tend en croissant vers une limite L'.
x^y est dans ce cas aussi cette limite commune L=L'.
Ceci vérifie les propriétés habituelles :
x^y+y'=x^y.x^y'
(xy)^z=x^z.y^z

[A voir en vidéo sur Futura]

[chatelot16]

le logarithme transforme l'adition en multiplication
log ( a x b ) = log a + log b

log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = 2

donc la fonction inverse de log x ressemble a 10^x

10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100

donc
log ( a x b ) = log a + log b
peut s'ecrire
a x b = 10^{log a + log b}
le logarithme permet de faire des multiplication avec des addition : c'etais le principe des regles a calcul

ca va aussi servir a calculer des puissance avec une multiplication
x² = 10^{log x + log x}
x² = 10^{2 . log x}
x³ = 10^{3 . log x}
et puisque le logaritme existe pour les nombre reel on peut generaliser
xⁿ = 10^{n . log x}

les matheux aiment bien les logaritme neperien dont l'inverse n'est pas la puissance de 10 mais la puissance de e : le principe est le meme mais c'est moins facile a expliquer
a x b = e^{ln a + ln b}

[invite2220c077]

Je me suis demandé il y a quelques temps ce que représentait exactement un nombre à la puissance n, avec n irrationnel...(Comme pi par exemple.)

Un tel nombre s'appelle un nombre transcendant me semble-t-il, i.e, un nombre qui n'est solution d'aucune équation algébrique, comme pi ou e par exemple.

[invite35452583]

Un tel nombre s'appelle un nombre transcendant me semble-t-il, i.e, un nombre qui n'est solution d'aucune équation algébrique, comme pi ou e par exemple.

Non nécessairement, Pour a=3^e, on a a^1/e=3 qui est un entier tout ce qui a de naturel, et pourtant e est irrationnel (en plus d'être transcendant).

[Seirios]

Il existe une expression générale mais elle utilise deux fonctions que tu n'as, du moins je pense, jamais vu : l'exponentielle et le logarithme. Avec celle-ci, on a pour x>0 et y : xy=eyln(x) je ne crois pas que ça t'avance beaucoup.

Ne t'en fais pas, je comprends parfaitement l'expression

On a donc , c'est bien ça ?

[Médiat]

e est irrationnel (en plus d'être transcendant).

Minuscule question de point de vue : j'aurais dit "e est transcendant (en plus d'être irrationnel)."

La formulation "e est irrationnel (en moins d'être transcendant)." sonnant bizarrement à l'oreille.

[invite35452583]

Ne t'en fais pas, je comprends parfaitement l'expression

On a donc , c'est bien ça ?

c'est bien ça. Quoique pas très pratique comme formule.

Minuscule question de point de vue : j'aurais dit "e est transcendant (en plus d'être irrationnel)."

La formulation "e est irrationnel (en moins d'être transcendant)." sonnant bizarrement à l'oreille.
Aujourd'hui 17h45

Dire que j'ai mis la précision car dès que l'on écrit que e est irrationnel quelqu'un vient rappeler que e est aussi (en plus...) transcendant.
La prochaine fois j'essaie avec "e est irrationnel (et transcendant)"

[Seirios]

c'est bien ça. Quoique pas très pratique comme formule.

C'est vrai que ce n'est pas pratique, mais je voulais "voir" ce que représentait un réel à la puissance irrationnelle.

Merci

[invitefee48c98]

Excusez moi je ne comprend pas vriment prenons un exemple un peu facile mais pas trop pour ne pas faire des 1^X=1 XD

exemple si on prend (1.2)^x=5 par exemple vous le ferez comment?(pour que je comprenne )

[invitefee48c98]

PS T°stl que je suis

[Thorin]

C'est vrai que ce n'est pas pratique, mais je voulais "voir" ce que représentait un réel à la puissance irrationnelle.

Merci

Tu dis "voir" comme si tu parlais de ton intuition, mais dans ce cas, je suis fort étonné que ton intuition s'accommode si facilement de cette formule plus que barbare

Sinon, une autre manière de voir les choses est de considérer la puissance irrationnelle comme limite de suite de puissances rationnelles, puisque tout irrationnel est limite d'une suite de rationnels.

[Seirios]

exemple si on prend (1.2)^x=5 par exemple vous le ferez comment?(pour que je comprenne

Tu veux déterminer x ? Si c'est cela, il te faut mettre les deux membres de ton équation sous logarithme népérien, d'où [TEX] \ln (1,2)^x = 5 \leftrightarrow x. \ln (1,2) = 5[TEX], soit
Cela répond-il à ta question ?

Tu dis "voir" comme si tu parlais de ton intuition, mais dans ce cas, je suis fort étonné que ton intuition s'accommode si facilement de cette formule plus que barbare

Il faut être indulgent, je ne faisais que commencer ma Première


En faisant ressortir ce topic, une question me vient : qu'en est-il des puissances pour les nombres complexes ? Je pense plus particulièrement aux puissances fractionnaires ; quelle est la restriction sur n pour que , avec z un complexe quelconque, ait un sens ?

[Thorin]

Je n'avais pas vu que le topic remontait à si loin...

Pour définir , z complexe, le problème est évidemment que le logarithme n'est pas défini sur des complexes...mais on peut en fait définir un logarithme complexe (fais une recherche sur google à logarithme complexe), et ainsi donner un sens à , avec z complexe, et x réel..et on peut prendre en plus x complexe aussi, puisqu'on connait l'exponentielle complexe.

D'ailleurs, si tu as une TI, elle te calculera sans doute sans problème

[sebsheep]

Chose encoe plus "étrange", est parfaitement réel ! (rappel : )

[Seirios]

C'est vrai que l'analyse complexe est un domaine que je n'ai pas encore exploré ; auriez-vous une référence d'introduction sur le sujet ? Celui-ci m'avait l'air intéressant : Eléments d'analyse complexe. Qui a-t-il comme notions à connaître avant, obligatoirement ?

[Seirios]

mais on peut en fait définir un logarithme complexe

J'ail lu quelques développement sur la définition du logarithme complexe ; il peut notamment être écrit comme , mais peut-on réellement parler de fonction, puisque qu'un argument n'est donné qu'à près ?

Qui a-t-il comme notions à connaître avant, obligatoirement ?

Je pense notamment à la topologie ; j'ai un cours dessus, mais je ne l'ai pas encore commencé, donc j'aimerais savoir si la topologie fait parti des prérecquis dans l'analyse complexe.

[sadben2004]

Ce poly me parait partir de la base http://jf.burnol.free.fr/0506L305lecours.pdf
En analyse complexe, il y a des notion de topologie comme prérequis si tu t'intéresse au démonstration des résultats (notion de ouvert, espace connexe, étoilé) mais on peut très bien de faire une vision intuitive de ces notions (pour R^2 !).

[sebsheep]

J'ail lu quelques développement sur la définition du logarithme complexe ; il peut notamment être écrit comme , mais peut-on réellement parler de fonction, puisque qu'un argument n'est donné qu'à près ?

Ben tu fixes ton argument entre 0 et 2pi, et ca ne pose de problemes

[God's Breath]

Ben tu fixes ton argument entre 0 et 2pi, et ca ne pose de problemes

Un petit problème de continuité sur le demi-axe réel positif ?

[sebsheep]

Un petit problème de continuité sur le demi-axe réel positif ?

Certes, c'est pas continue ... mais ca pose de problèmes pour être une fonction. x->1/x n'est pas continue, ca ne l'empeche pas d'etre une fonction

[acx01b]

salut

pour rester à la question de départ, pour définir les puissances réelles d'un nombre (pour faire simple) rationnel supérieur à 1, j'expliquerais que c'est la limite d'un produit :

d'abord on montre que est strictement croissant avec a > 1
ensuite on pose n ème décimale de x (avec ) et on a
donc qui converge car

l'intéret est que l'on n'utilise que les puissances rationnelles d'un rationnel supérieur à 1 pour introduire la notion (et pas de log ni d'exponentielle)

[Universus]

Salut à tous,

J'ail lu quelques développement sur la définition du logarithme complexe ; il peut notamment être écrit comme , mais peut-on réellement parler de fonction, puisque qu'un argument n'est donné qu'à près ?

Oui, il me semble qu'on peut toujours parler de fonction, mais il est vrai que le choix d'un intervalle fini pour a quelque chose d'arbitraire...

Mais ce choix arbitraire tient surtout du fait qu'on restreint le domaine d'arrivée de la fonction au plan complexe. Si on se permet d'avoir un domaine d'arrivée un peu plus exotique que le plan complexe, il n'y a pas besoin de restreindre l'argument à un certain intervalle. D'où la notion de surfaces de Riemann.

La surface de Riemann associée au logarithme complexe est une sorte de spirale de hauteur infinie, une sorte de superpositions de différents plans complexes si on peut dire. Ainsi, le logarithme d'un nombre complexe dont l'argument serait plus grand que ou plus petit que ne serait pas ''projeté' pas sur le même feuillet ou plan complexe que le logarithme d'un nombre complexe dont l'argument serait entre ces deux valeurs.

De même, la fonction pour n'a pas un ''unique'' domaine d'arrivée si m n'est pas un multiple de n, car . Or, ce qui est intéressant avec cette surface de Riemann, c'est qu'après avoir ''parcouru'' n feuillets, soit n tours autour d'un point d'embranchement de la fonction (un point d'embranchement étant un point où les feuillets se ''croisent''), on revient au feuillet initial.

Bref, soit une fonction , alors on a une surface de Riemann :
- d'un seul feuillet, soit le plan complexe ordinaire, si n est entier;
- de b feuillet si n=a/b où a et b sont des entiers relativement premiers;
- d'une infinité de feuillet si n est irrationnel (puisque nombre irrationnel peut être approché autant que l'on veut par un rationnel)

[invitec053041c]

car

Ah bon, pourquoi ça ?

[Universus]

si m n'est pas un multiple de n, car .

Il faudrait plutôt lire , mais est égale à .