exo - algèbre linéaire

[inviteb22ba7ef]

Bonsoir,

j'ai un problème avec un exo, et je recherche de l'aide.
Voici l'intitulé:
Soit E un ev sur R de dim 3, et B une base de E, on note f l'endomorphispme de E dans la base B,
A=
|1 1 2| e1
|0 1 1| e2
|-1 1 0| e3
f(e1) f(e2) f(e3)

a. trouver ker f et Im f
Montrer que ker f et im f sont supplémentaires
b. On note f l'endomorphisme induit par f sur Im f, trouver une base de Im f et donner la matrice de f dans cette base.

J'ai juste trouvé ker f est une droite vérifiant le système x=z, y=-z, z=z
Pour la suite, je sature

pouvez vous m'aider à finir cet exercice svp ?
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[invite4b9cdbca]

de la droite en question tu peux extraire un vecteur qui est finalement la base de ton Ker.
Pour l'image, tu n'as qu'à prendre deux vecteur linéairement indépendants qui ne font pas partie du noyau (ça peut se construire à la main) et trouver leurs images respectives.

Pour montrer la supplémentarité, ben tu peux montrer que le vecteur du Ker et ceux de l'Im forment une famille libre dans R^3

etc.

cdlt

[inviteb22ba7ef]

merci pour ta réponse kron, mais je bloque toujours, en fait, voilà mon problème:
je trouve ker f = vect (-1,-1,1)
Ensuite, je pense que mon raisonnement est faux, mais je ne vois pas où
j'utilise le th du rang => Dim E = Dim ker f + rg f
j'ai donc rg f = 2
de plus Im f = vect (f(e1),f(e2),f(e3))
or comme rg f = 2, j'en déduit que f(e3) est combinaison linéaire de f(e1) et f(e2)
et j'ai alors Im f = vect ( f(e1), f(e2) ) <-- c'est un plan
je montre ensuite que ker f et Im f sont supplémentaires.

Puis, pour la b/, j'ai d'après la question a/ : Im f = Vect(f(e1),f(e2))
or pourquoi demander dans la question b/ ce que j'ai trouvé dans la a/ ?

[invite4b9cdbca]

Bonjour !

Pour moi, ton raisonnement est globalement juste, à ceci près :

or comme rg f = 2, j'en déduit que f(e3) est combinaison linéaire de f(e1) et f(e2)

ta conclusion n'est pas vraiment conséquence directe de ton affirmation de départ, mais à la limite c'est pas grave.

Pour la suite, je pense, si je comprends bien l'énoncé, qu'il y a un problème de notation. appelons plutôt g l'endomorphisme induit par f sur Im(f).
il s'agit de trouver ici Im(g) (et non Im(f) ).
En gros c'est "tout comme" si tu appliquais deux fois f.

[A voir en vidéo sur Futura]