besoin d'aide complexes

[sandalk]

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour des exos sur les complexes.

1) soient z₁, z₂, z₃ trois nombres complexes distincts ayant le même cube.
Exprimer z₂ et z₃ en fonction de z₁

je ne vois pas du tout comment faire. est ce que dire que z₁, z₂ et z₃ ont le même cube, ca veut dire que z₁³=z₂³=z₃³ ???

2) Donner, sous forme trigonométrique, les solutions dans C de :
z⁶+(7-i)z³-8-8i=0

j'ai posé Z=z³ et donc je résouds Z²+(7-i)Z-8-8i=0

et j'obtiens Z= ou Z= [tex]\frac{i-7+\sqrt{60+18i}}{2}

seulement là je n'arrive pas à trouver les racines carrées de Z.

3) Déterminer l'ensemble E des nombres complexes z tels que |(1+i)z-i|=4

j'ai mis au carré donc j'ai |(1+i)z-i|²=16
_______
((1+i)z-i)((1+i)z-i)=16
,,,,,,,_
((1-i)z+i)((1+i)z-i)=16

en distribuant j'obtiens :
,,,,_,,,,,,_,,,,,_
2zz+i(z-z)-z-z=15

et là non plus je n'arrive pas à continuer

4) soit T la transformation du plan : z'=(1+i)z-i
A est le pt invariant par T
on a quel que soit z de C, z'-z=i(z-1)
en déduire que si M est distinct de A alors le triangle AMM' est rectangle et isocèle en M.

est ce qu'il faut raisonner avec l'angle et le rapport de la similitude T ??


est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait

merci d'avance.
-----

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Pour la question, 1/, je te suggère de mettre sous forme trigonométrique, et de te rappeler (ou de faire si tu ne las jamais fait) que les racines cubiques de 1 sont 1,j et j^2, et satisfont 1+j+j^2 = 0

A mon avis, une fois que tu auras su faire cela, déjà quelques points s'éclairciront dans la suite.

__
rvz

[indian58]

2) Donner, sous forme trigonométrique, les solutions dans C de :
z⁶+(7-i)z³-8-8i=0

j'ai posé Z=z³ et donc je résouds Z²+(7-i)Z-8-8i=0

et j'obtiens Z= ou Z= [tex]\frac{i-7+\sqrt{60+18i}}{2}

Déjà transforme l'expression de Z en de débarassant de cette racine
seulement là je n'arrive pas à trouver les racines carrées de Z (passe en forme trigo). Puis sers toi de la 1) pour trouver z en fonction de Z (racine cubique et
tu passes en trigo pour avoir une solution).

3) Déterminer l'ensemble E des nombres complexes z tels que |(1+i)z-i|=4

Tu divises par |1+i| et tu obtiens quelque chose de la forme |z - z0| = 2racine(2)
Donc, ton ensemble est un cercle de centre a et de rayon 2racine(2).

4) soit T la transformation du plan : z'=(1+i)z-i
A est le pt invariant par T
on a quel que soit z de C, z'-z=i(z-1)
en déduire que si M est distinct de A alors le triangle AMM' est rectangle et isocèle en M.

est ce qu'il faut raisonner avec l'angle et le rapport de la similitude T ??

Oui tu peux (géométriquement à partir du vecteur d'affixe z-i, elle fait quoi ta transformation?).

[sandalk]

Tu divises par |1+i| et tu obtiens quelque chose de la forme |z - z0| = 2racine(2)
Donc, ton ensemble est un cercle de centre a et de rayon 2racine(2).

donc si j'ai bien compris j'obtiens : |z-1/2-1/2i| = 2racine(2) donc l'ensemble des z c'est le cercle de centre A d'affixe -1/2-1/2i et de rayon 2 racine de 2 ?????

[A voir en vidéo sur Futura]

[indian58]

Ouais. |z-a|=r signifie géométriquement : l'ensemble des points se trouvant à la distance r de a.

[sandalk]

ok merci bcp

[invite35452583]

Oui tu peux (géométriquement à partir du vecteur d'affixe z-i, elle fait quoi ta transformation?).

Tu confonds avec z-1, non ?

Indice supplémentaire pour le 4) :
on parle du point invariant A, ce serait pas mal de chercher son affixe zA, puis d'exprmier z'-z_A en fonction de z-z_A ce qui sera beaucoup plus intéressant que le z'-z=i(z-1) qui n'apporte rien..

[indian58]

Tu confonds avec z-1, non ?

Oups au temps pour moi! Et en plus faut transformer l'expression en z'-zA = z0(z-zA).