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Toute fonction holomorphe doublement périodique est constante dans C



  1. #1
    Maquessime

    Toute fonction holomorphe doublement périodique est constante dans C


    ------

    Bonjour,

    j'ai de la misère à prouver un corollaire du théorème de Liouville qui dit que toute fonction holomorphe doublement périodique est constante. En fait, il faut montrer que toute fonction doublement périodique est bornée, c'est ça ? comment faire ?

    merci !

    -----

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  3. #2
    indian58

    Re : Toute fonction holomorphe doublement périodique est constante dans C

    C'est quoi une fonction doublement périodique?

  4. #3
    indian58

    Re : Toute fonction holomorphe doublement périodique est constante dans C

    C'est quoi une fonction doublement périodique?

  5. #4
    Médiat

    Re : Toute fonction holomorphe doublement périodique est constante dans C

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    C'est quoi une fonction doublement périodique?

    En gros c'est une fonction périodique dans deux directions du plan complexe.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    homotopie

    Re : Toute fonction holomorphe doublement périodique est constante dans C

    La méthode la plus simple est à mon avis celle-ci :
    on définit le parallélogramme P de sommets d'affixe 0, a, b a+b
    i) montrer que pour tout z complexe, il existe z' dans P tel que z=z'+ha+kb avec h et k entiers.
    ii) en déduire que f(C)=f(P)
    iii) une fonction holomorphe est continue et P est compact donc f(P) est compact et donc borné.
    iv) appliquer le théorème de Liouville.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    indian58

    Re : Toute fonction holomorphe doublement périodique est constante dans C

    Citation Envoyé par Maquessime Voir le message
    Bonjour,

    j'ai de la misère à prouver un corollaire du théorème de Liouville qui dit que toute fonction holomorphe doublement périodique est constante. En fait, il faut montrer que toute fonction doublement périodique est bornée, c'est ça ? comment faire ?

    merci !
    Bon, ben tu te prends a et b tes deux "périodes" qui forment une base de C. Ensuite tu prends z dans C et tu l'écris z = ka + k'b + c avec c dans le losange de côtés a et b et passant par 0 (c'est l'ensemble des z tels que z = l*a + m*b avec 0<=l,m<=1). Alors f(z) = f(c). Or sur ce losange f est bornée. Donc f est bornée sur C et par le théorème de Liouville, f est constante.

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  10. #7
    Maquessime

    Re : Toute fonction holomorphe doublement périodique est constante dans C

    Pour montrer que P est compact, puis-je dire que P est recouvert par un disque ouvert de rayon |a+b|+c, c>0 ? (Propriété Heine-Borel) merci !

  11. #8
    homotopie

    Re : Toute fonction holomorphe doublement périodique est constante dans C

    Citation Envoyé par Maquessime Voir le message
    Pour montrer que P est compact, puis-je dire que P est recouvert par un disque ouvert de rayon |a+b|+c, c>0 ? (Propriété Heine-Borel) merci !
    P est un fermé borné (max lzl<=lal+lbl pour éviter de faire plusieurs cas)

  12. #9
    Maquessime

    Re : Toute fonction holomorphe doublement périodique est constante dans C

    merci beaucoup, je crois que c'est complet

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