Bonjour,
j'ai de la misère à prouver un corollaire du théorème de Liouville qui dit que toute fonction holomorphe doublement périodique est constante. En fait, il faut montrer que toute fonction doublement périodique est bornée, c'est ça ? comment faire ?
merci !
C'est quoi une fonction doublement périodique?
C'est quoi une fonction doublement périodique?
Envoyé par indian58
En gros c'est une fonction périodique dans deux directions du plan complexe.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
La méthode la plus simple est à mon avis celle-ci :
on définit le parallélogramme P de sommets d'affixe 0, a, b a+b
i) montrer que pour tout z complexe, il existe z' dans P tel que z=z'+ha+kb avec h et k entiers.
ii) en déduire que f(C)=f(P)
iii) une fonction holomorphe est continue et P est compact donc f(P) est compact et donc borné.
iv) appliquer le théorème de Liouville.
Bon, ben tu te prends a et b tes deux "périodes" qui forment une base de C. Ensuite tu prends z dans C et tu l'écris z = ka + k'b + c avec c dans le losange de côtés a et b et passant par 0 (c'est l'ensemble des z tels que z = l*a + m*b avec 0<=l,m<=1). Alors f(z) = f(c). Or sur ce losange f est bornée. Donc f est bornée sur C et par le théorème de Liouville, f est constante.
Pour montrer que P est compact, puis-je dire que P est recouvert par un disque ouvert de rayon |a+b|+c, c>0 ? (Propriété Heine-Borel) merci !
P est un fermé borné (max lzl<=lal+lbl pour éviter de faire plusieurs cas)
merci beaucoup, je crois que c'est complet
