Bonjour,
soit f la fonction 1-periodique tellque f(t)=(t-1/2)² pour t€[0,1].
La question est : existence et calcul de l'intégrale de 1 a +infini de f(t)/t².
Pour l'existence, j'ai di que f etait bornée car periodique donc d'apres la regle de Riemann, c bon...
Pour le calcul je suis passé par une série en calculant l'intégrale de k a k+1 a chaque fois, mais la série que je trouve diverge ! apres avoir refait 2 fois le calcul... Vous pouvez m'aider svp ? Merci
Peut etre que tu pourrais essayer avec les series de fourier ?
C'est une idée mais d'abord j'aimerais bien savoir d'ou vient ma contradiction...
C'est certainement la bonne approche. Tu vas trouver une suite d'intégrales u(k) pour chaque intégration de k à k+1.Envoyé par Gpadide
Reste à voir comment varie u(k) en fonction de k, ce qui réclame un développement limité assez fin.
C'est justement la mon probleme ! J'obtiens une serie de : 1 + des termes qui se telescopent. Et quand je reviens aux sommes partielles je trouve une suite equivalente a n - ln(1+n) je crois... qui tend vers + infini !
Salut !
Envoie ton calcul, j'ai fait comme toi et je trouve un truc qui marche. Tu as bien calculé
?
Dans le résultat, une partie se télescope bien, une autre aussi mais moins bien. Exercice super sympa !
Taar.
Ok il me manque le k, je comprends pas d'ou il vient ? Moi j'ai intégré (1-1/2t)² du coup ... Car je pensais que f vallait 1-1/2t partout !
Le k vient de ce que tu as translaté ta fonction de k unités dans le sens des x.
Il faut donc intégrer ce carré d'une somme qui se décompose en 3 intégrales dont il faut faire un développement limité en fonction de 1/k et là, ô surprise, des tas de termes s'en vont, d'où la nécessité de développer finement (assez loin en 1/n).
Taar, peux tu montrer le calcul stp ? Car je ne sais pas comment téléscoper mes carrés. (Je suppose que ce qui se téléscope "bien" ce sont les ln(k) et les 1/k, mais le reste ... )
Un DL ne donnera pas la valeur de la somme si ? Juste de quoi dire si la série converge ou pas, ce que l'on sait deja !
Effectivement, un développement limité ne donnera pas la somme, il s'agissait simplement de lever le paradoxe que tu soulevais, à savoir une série qui ne converge pas alors qu'elle est équivalente à une intégrale qui converge.
Bon, alors je trouve comme intégrale :
qu'il s'agit de sommer pour k allant de 1 à n.
En réduisant on trouve que
D'où en sommant de 1 à n (télescopage) :
On calcule ensuite
Pour ça on compte le nombre de
soit encore
Ensuite on utilise Stirling !!
puis on déroule.
Taar.
