Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 12 sur 12

Intégrabilité d'une fonction périodique



  1. #1
    Gpadide

    Intégrabilité d'une fonction périodique


    ------

    Bonjour,
    soit f la fonction 1-periodique tellque f(t)=(t-1/2)² pour t€[0,1].
    La question est : existence et calcul de l'intégrale de 1 a +infini de f(t)/t².

    Pour l'existence, j'ai di que f etait bornée car periodique donc d'apres la regle de Riemann, c bon...

    Pour le calcul je suis passé par une série en calculant l'intégrale de k a k+1 a chaque fois, mais la série que je trouve diverge ! apres avoir refait 2 fois le calcul... Vous pouvez m'aider svp ? Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    andremat

    Re : Integrabilité d'une fonction periodique

    Peut etre que tu pourrais essayer avec les series de fourier ?

  4. #3
    Gpadide

    Re : Integrabilité d'une fonction periodique

    C'est une idée mais d'abord j'aimerais bien savoir d'ou vient ma contradiction...

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Intégrabilité d'une fonction périodique

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Pour le calcul je suis passé par une série en calculant l'intégrale de k a k+1 a chaque fois, mais la série que je trouve diverge ! apres avoir refait 2 fois le calcul... Vous pouvez m'aider svp ? Merci
    C'est certainement la bonne approche. Tu vas trouver une suite d'intégrales u(k) pour chaque intégration de k à k+1.
    Reste à voir comment varie u(k) en fonction de k, ce qui réclame un développement limité assez fin.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Gpadide

    Re : Intégrabilité d'une fonction périodique

    C'est justement la mon probleme ! J'obtiens une serie de : 1 + des termes qui se telescopent. Et quand je reviens aux sommes partielles je trouve une suite equivalente a n - ln(1+n) je crois... qui tend vers + infini !

  8. #6
    Taar

    Re : Intégrabilité d'une fonction périodique

    Salut !

    Envoie ton calcul, j'ai fait comme toi et je trouve un truc qui marche. Tu as bien calculé
    ?

    Dans le résultat, une partie se télescope bien, une autre aussi mais moins bien. Exercice super sympa !

    Taar.

  9. Publicité
  10. #7
    Gpadide

    Re : Intégrabilité d'une fonction périodique

    Ok il me manque le k, je comprends pas d'ou il vient ? Moi j'ai intégré (1-1/2t)² du coup ... Car je pensais que f vallait 1-1/2t partout !

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Intégrabilité d'une fonction périodique

    Le k vient de ce que tu as translaté ta fonction de k unités dans le sens des x.
    Il faut donc intégrer ce carré d'une somme qui se décompose en 3 intégrales dont il faut faire un développement limité en fonction de 1/k et là, ô surprise, des tas de termes s'en vont, d'où la nécessité de développer finement (assez loin en 1/n).

  12. #9
    Gpadide

    Re : Intégrabilité d'une fonction périodique

    Taar, peux tu montrer le calcul stp ? Car je ne sais pas comment téléscoper mes carrés. (Je suppose que ce qui se téléscope "bien" ce sont les ln(k) et les 1/k, mais le reste ... )

  13. #10
    Gpadide

    Re : Intégrabilité d'une fonction périodique

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Le k vient de ce que tu as translaté ta fonction de k unités dans le sens des x.
    Il faut donc intégrer ce carré d'une somme qui se décompose en 3 intégrales dont il faut faire un développement limité en fonction de 1/k et là, ô surprise, des tas de termes s'en vont, d'où la nécessité de développer finement (assez loin en 1/n).
    Un DL ne donnera pas la valeur de la somme si ? Juste de quoi dire si la série converge ou pas, ce que l'on sait deja !

  14. #11
    Jeanpaul

    Re : Intégrabilité d'une fonction périodique

    Effectivement, un développement limité ne donnera pas la somme, il s'agissait simplement de lever le paradoxe que tu soulevais, à savoir une série qui ne converge pas alors qu'elle est équivalente à une intégrale qui converge.

  15. #12
    Taar

    Re : Intégrabilité d'une fonction périodique

    Citation Envoyé par Gpadide Voir le message
    Taar, peux tu montrer le calcul stp ?
    Bon, alors je trouve comme intégrale :



    qu'il s'agit de sommer pour k allant de 1 à n.

    En réduisant on trouve que



    D'où en sommant de 1 à n (télescopage) :

    , soit

    On calcule ensuite .

    Pour ça on compte le nombre de , le nombre de , le nombre de , ..., le nombre de dans cette somme. On trouve



    soit encore

    Ensuite on utilise Stirling !!


    puis on déroule.

    Taar.

  16. Publicité

Discussions similaires

  1. intégrabilité d'une intégrale à paramètre
    Par cencormoi dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 22/06/2007, 13h24
  2. Fonction pseudo-périodique
    Par Elgringonights dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 17/11/2006, 20h02
  3. Intégrabilité d'une fraction rationnelle
    Par Draune dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 16
    Dernier message: 09/10/2005, 18h39
  4. Fonction périodique, minimum ...
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 10
    Dernier message: 06/04/2005, 18h07