Bonjour,
J'ai un petit souci avec un exercice.
On a le système (1) suivant :
J'ai montré que les solutions régulières de ce système étaient aussi solutions du système (2) :
On me demande ensuite de dire si ce dernier système est aussi vérifié par toutes les solutions faibles de (1).
>> Faut-il que je revienne à la caractérisation des solutions faibles ? en multipliant notamment par une fonction test, en intégrant, etc... ?
Merci beaucoup
personne pour m'aiguiller un peu ?
Salut,
Oui, il faut revenir à la définition des solutions faibles.
Cela dit, ici, si je ne me trompe pas, ça ne va pas marcher parce que tu vas avoir envie de diviser...
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rvz
Merci rvz.
Mais ça marche comment pour un système d'équationd ? ( je n'ai fait que le cas scalaire ): il faut simplement que j'écrive la "propriété" des solutions faibles pour chaque "ligne" du système ?
Et je me débrouille après pour essayer d'arriver à mon deuxième système ?
C'est exactement cela.
Sauf que je maintiens que tu n'arriveras pas à montrer que les deux systèmes sont équivalent, du fait que diviser par des distributions est TRES dur.
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rvz
D'accord, merci.
Mais alors quelles sont les solutions faibles qui posent problèmes ? celles qui s'annulent ?
C'est ça. En gros, il te faudrait au moins des bornes sur h du type
h(x) > a >0 pour tout x.
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rvz
Ok, merci.
Mais ici, même si elles ne s'annulaient pas, ça serait quand même difficile de diviser par des distributions de toute façon, non ?
C'est tout à fait exact. D'où le 'au moins' dans mon post précédent.
En gros, tu peux considérer que les distributions marchent bien pour les calculs linéaires (addition, soustraction) et commencent à faire n'importe quoi dès que tu fais des trucs non linéaires avec elle. Essentiellement, il faut garder en tête l'exemple du dirac. Dirac^2 n'existe pas ! Quant à diviser par un Dirac...
Bref, faut faire extrèmement attention dès que les problèmes sont linéaires. Et encore je ne te parle pas des solutions de Hamilton Jacobi qui sont solutions dans un sens tellement faible que les équations
H(u,\grad u) = 0 et - H(u,\grad u) = 0 n'ont pas les mêmes solutions...
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rvz
Merci, c'est très clair !
J'avais oublié de préciser pour arriver au 2ème système, on pose a=gh.
Par contre, je vois pas où vont apparaitre les divisions.
Je considère une solution faible qui vérifie le système (1), j'ai alors :
,
En multipliant la 1ere égalité par g qui est constante, je peux retrouver la 1ere ligne de mon 2ème système.
Par contre, que dois-je faire pour la 2ème ligne ? Où vont apparaitre les divisions ?
Merci beaucoup.
Une remarque : ici, j'ai pas de condition initiale, alors que j'en ai une normallement dans la formulation faible
Salut,
Je pense que dans la deuxième ligne tu vas avoir envie de diviser par h, non ?
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rvz
Mais le fait de diviser par h ne va pas servir à grand chose : je peux pas diviser par h à l'intérieur de l'intégrale, j'aurais donc que du 1/h en facteur des intégrales, ce qui m'avancerait pas beaucoup, non ?
Et en fait je vois pas trop ce qui m'empecherait de diviser par h : imaginons que h ne s'annule jamais, je peux très bien diviser par h, non ? h et u doivent etre dans
Effectivemet, ça ne t'avancerait pas beaucoup, sauf si tu remarques queEnvoyé par Rouliane
d(h \phi) = h d \phi + \phi dh, et que h est solution d'une autre équation BLABLA
Si tu suis la voie que je t'indique, à la fin, tu vas avoir envie de prendre \psi = h \phi comme fonction test, et ça n'est en général pas une fonction régulière, que h soit dans L^2 ou H^s avec s grand, n'est ce pas ?Et en fait je vois pas trop ce qui m'empecherait de diviser par h : imaginons que h ne s'annule jamais, je peux très bien diviser par h, non ? h et u doivent etre dans
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rvz
je comprends toujours pas où il faut en venir :
Quand tu dis : "si tu remarques que
d(h \phi) = h d \phi + \phi dh, et que h est solution d'une autre équation BLABLA" est ce que ça a un sens d'écrire d(h \phi) ? sachant que h est une distribution.
Sinon, oui, je suis d'accord que h \phi n'est pas une fonction assez régulière.
Mais je vois pas où, dans cette démarche, tu as voulu diviser par h.
Merci.
Bon, d'accord.
En gros, ce que je veux dire, c'est que si tu supposes h régulière, l'application qui à \phi associe \psi = h \phi envoie les fonctions régulières à support compact dans elles-mêmes, et c'est une bijection si h ne s'annule pas (c'est là que moralement tu divises par h).
Maintenant si tu bidouilles un peu tes équations (essaye de soustraire la première de la deuxième par exemple comme je suppose tu fais dans le cas de solutions régulières), tu vas avoir envie d'utiliser l'application ci-dessus.
Cela dit, comme tu le fais remarquer si justement, cette application est toute pourrie quand h est une distribution, et donc tu ne peux pas faire cette opération.
Je ne sais pas si j'ai enfin réussi à être à peu près clair. J'ai l'impression de t'embrouiller plus qu'autre chose, et je m'en excuse.
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rvz
Non, t'en fait pas, tu ne m'embrouilles pas du tout, au contraire.
C'est moi qui doit etre un peu long à la détente
Effectivement, pour les solutions régulières, j'avais dérivé classiquement la 2ème équation, ce qui faisait apparaitre les termes de la 1ere équation, qui est nulle, donc ça marchait bien.
Mais concrètement ici, je vois pas trop ce qu'il faut justifier exactement. Si h et u sont des distributions, on a déjà dans notre système des produits de distributions (notamment le hu et le u²), ce qui est bien pourri comme tu dis.
Alors je vois déjà pas quel sens a l'écriture intégrale de hu etc..( là je crois que je m'embrouille)
Sinon, j'ai bien compris l'histoire de poser h \phi comme fonction test, et effectivement c'est pas assez régulier comme fonction. Si on avait pu poser h\phi comme fonction test, alors vu que l'égalité serait vraie pour toute fonction test, on retomberai sur notre système ( c'est bien ça ? ).
Seulement, ici, ça ne marche pas. Mais je peux pas dire " On pourrait poser h \phi comme fonction test, mais c'est tout pourri (
Je vois bien que ça va coincer, mais ça me parait pas rigoureux ( je ne dis pas que ton raisonnement n'est pas rigoureux, loin de là, mais je comprends pas pourquoi il est assez rigoureux pour nous permettre d'affirmer que les solutions faibles de (1) ne sont pas toutes solutions faibles de (2) )
Merci en tout cas, et désolé pour les questions qui doivent paraitre un peu idiotes.
Salut,
Ben, à mon avis il faut répondre que ce que tu aimerais faire, c'est remplacer tes fonctions tests \phi par \psi = h \phi, mais que ce n'est pas raisonnable étant donné la régularité de h.
Donc qu'à priori ces deux notions ne sont pas équivalentes.
Je ne vois pas trop ce que tu peux dire d'autre, en fait.
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rvz
D'accord. Mais pour moi y'a toujours un problème. J'ai :
Si je multiplie ma 1ere ligne par g, je retrouve bien :
Je vais maintenant écrire que ma 2ème ligne peut s'écrire :
Et à partir de là j'arrive pas à faire apparaitre de
J'ai essayé de soustraire la première, mais ça n'amène pas grand chose
Comment tu fais dans le cas de solutions fortes ?
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rvz
Je fais apparaitre la 1ere équation dans la deuxième équation, en dérivant classiquement. Ce terme s'annule et je retombe alors sur le système (2).
Pour etre plus clair :
On a le système :
<=>
<=>
le terme entre crochets est nul, donc on a:
<=>
<=>
or on avait montré précédemment que le système (1) est hyperbolique si h>0, donc on a :
<=>
Soit le résultat qu'il faut trouver.
Par contre, je sais pas si j'ai le droit d'utiliser que h ne s'annule pas ici.
Tout à fait. D'ailleurs, il doit y avoir un moment où tu divises pas h, n'est ce pas ?
Maintenant essaye de le faire sur des solutions forts en utilisant des fonctions tests.
Tu verras qu'en fait tu fais quasiment la même chose...
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rvz
Oui, je divise effectivement par h car on avait montré que h >0.
Mais dans le cas de solutions faibles, je peux pas faire la même chose car je ne manipule aucune dérivée sur h ou u. J'ai uniqement des dérivées sur les \phi.
C'est le truc que je te mentionnais plus haut.
Il suffit de dire que h d \phi = d ( h\phi) - \phi d h.
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rvz
Mais je peux pas le dire vu que cette écriture n'a pas de sens ?
ah mais si, elle a un sens parce qu'on peut multiplier une distribution par une fonction C infinies, c'est ça ?
J'ai bien précisé que tu fais ça pour des solutions _régulières_. Sinon, effectivement, ça ne va pas marcher. Et pour des solutions régulières, c'est vrai, n'est ce pas ?
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rvz
Oui je suis d'accord, je peux faire ça pour des solutions régulières.
mais quel interett de passer par les fonctions tests alors que je peux dériver classiquement ?
L'intérêt c'est d'essayer de voir où ça va coincer plus en détail, et de bien voir que tu peux aussi démontrer que les systèmes 1 et 2 sont équivalents pour des fonctions régulières solutions au sens des distributions.
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rvz
Merci.
Mais donc je dis quoi exactement pour justifier que toutes les solutiions faibles ne sont pas solutons de (2) ?
