Loi de conservation - Théorème de Noether

[zoup1]

Bonjour,

d'après ce que je comprends, le théorème de Noether...
http://perso.club-internet.fr/jac_l...etries/sym7.htm
http://www-cosmosaf.iap.fr/Noether_et_le_Lagrangien.htm
http://fr.wikipedia.org/wiki/Action_(physique)
... permet à partir de
1) une forme postulée du Lagrangien
2) du principe de moindre action
3) d'une symétrie postulée de l'espace

d'exprimer une grandeur conservée.

par exemple si la symétrie postulée est l'invariance par translation dans le temps alors la quantité conservée est l'énergie.


Mais, et c'est là qu'est ma question, pour moi une loi de conservation ne s'arrête pas à dire que pour un système isolé, une quantité est conservée, mais aussi d'exprimer pour un système non-isolé comment cette quantité varie.

Par exemple, la conservation de la quantité de mouvement qui s'exprime en disant que pour un système isolé (pour une observateur dans un référentiel inertiel) la quantité de mouvement est conservée, est complétée par qui indique comme la quantité de mouvement varie lorsque le système est soumis à des forces extérieures .

Ma question donc ; le théorème de Noether permet-il de donner cette variation des quantitées conservée pour un système qui n'est pas isolé ?
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[mtheory]

Ma question donc ; le théorème de Noether permet-il de donner cette variation des quantitées conservée pour un système qui n'est pas isolé ?

Oui, en élargissant le système de manière à obtenir un système isolé contenant ton systéme précédent et le reste de l'Univers avec lequel il échangait des quantités conservées.
Sous réserve bien sûr que le tout soit encore décrit par un Lagrangien.
Ainsi un électron couplé au champ électromagnétique n'est pas un systéme isolé, mais l'ensemble électron plus champ électromagnétique l'est en électrodynamique et il posséde un Lagrangien.

[zoup1]

D'accord, c'est tout bête, la réponse est simplement dans la forme du Lagrangien autrement dit !!!

[mtheory]

D'accord, c'est tout bête, la réponse est simplement dans la forme du Lagrangien autrement dit !!!

Oui c'est ça,lorsqu'il existe un Lagrangien.
Ce qui est presque toujours le cas,en tout cas dans la physique connue.
Il y a quelques problèmes avec les fluides visqueux d'après un de mes anciens profs mais j'ai jamais peut me persuader de celà.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zoup1]

Je n'ai jamais bien compris comment on adaptait le formalisme lagrangien aux cas des systèmes dissipatifs, lorsque les interactions ne sont pas potentielles justement ?

[mtheory]

Je n'ai jamais bien compris comment on adaptait le formalisme lagrangien aux cas des systèmes dissipatifs, lorsque les interactions ne sont pas potentielles justement ?

Elles semblent ne pas l'être parce qu'on introduit des termes dissipatifs effectifs et non fondamentaux.
Ex les forces de frottements dissipent de l'énergie mécanique en chaleur.
Or celles-ci, dans le cas d'un gaz disons, découlent bien de potentiels conservatifs entre molécules du gaz même si cela n'apparait pas directement.
Tout dépend en fait du niveaux de description du système.
Dans la pluspart des cas en tout cas.
Le problème est celui du passage d'un Lagrangien fondamental à un description effective dont le L n'existe pas ou ne nous est pas encore connue,enfin selon moi...
En MC on peut introduire un terme de Rayleigh dans le Lagrangien pour décrire des forces de frottements (Landau mécanique).

[zoup1]

Je crois que de toute façon il faudra que je repasse par là (Landau mécanique)... J'ai bien l'impression que la plupart des réponses aux questions que je me pose en ce moment sont dans les 2 premiers chapitres... je devrais pouvoir faire ça...

[mtheory]

Je crois que de toute façon il faudra que je repasse par là (Landau mécanique)... J'ai bien l'impression que la plupart des réponses aux questions que je me pose en ce moment sont dans les 2 premiers chapitres... je devrais pouvoir faire ça...

Pour les systèmes dissipatifs à la Prigogine je crains que mes explications soient trop simplistes voir fausses attention!

[invitea29d1598]

Le problème est celui du passage d'un Lagrangien fondamental à un description effective dont le L n'existe pas ou ne nous est pas encore connue,enfin selon moi...

tu as grossièrement le même problème pour un fluide visqueux : tu fais du macro alors que la viscosité vient d'une échelle inférieure que tu ne décris pas... d'où l'irréversibilité qui dérange la formulation purement variationnelle...

[mtheory]

tu as grossièrement le même problème pour un fluide visqueux : tu fais du macro alors que la viscosité vient d'une échelle inférieure que tu ne décris pas... d'où l'irréversibilité qui dérange la formulation purement variationnelle...

Oui, je pensais bien à cela et j'ai eu un conflit amicale avec un ancien élève de Lichnérowicz sur la question.
Lui: il n'existe pas de formulation Lagrangienne des équations de la mécanique des fluides,même pas celle d'Euler.
Moi:hein!? Lichné à donné une telle formulation (ou plutôt Synge) dans son bouquin de 1955 sur la gravitation relativiste et les théorie de Jordan-Thiery et Einstein Schroedinger!
On n'a jamais put s'accorder, je pense toujours avoir raison mais il est plus qualifié que moi donc je sais que je peux me tromper.
Il n'en reste pas moins que les équations de méca classique dérivent du Lagrangien du champ de gravitation donc je lui ai dit que cela seul devrait assurer l'existence d'une formulation variationnelle pour l'équation d'Euler et Navier-Stokes.
Aprés tout on a bien un tenseur impulsion-énergie pour un fluide visqueux dont le scalaire, obtenu par contraction, se trouve avec le scalaire de Ricci dans la dérivation var des équations d'Einstein.
Je crois que Geroch a repris la question, il y a quelques années, dans ses travaux sur les systèmes hyperboliques en physique.

[invitea29d1598]

On n'a jamais put s'accorder, je pense toujours avoir raison mais il est plus qualifié que moi donc je sais que je peux me tromper.

pour Euler je suis d'accord avec toi... pour Navier-Stokes ou tout autre truc dissipatif, c'est plus flou : faut mettre des trucs "à la main" (terme de création d'entropie, etc)...

Brandon Carter et divers de ces (ex-)étudiants ont pas mal travaillé sur ça... dans un cadre relativiste et/ou newtonien (avec applications aux étoiles à neutrons et aux superfluides à l'intérieur de celles-ci)...

un truc très très récent sur le sujet (où tu trouveras aussi plein de réfs à des papiers passés) :

http://fr.arxiv.org/abs/astro-ph/0410660

[mtheory]

un truc très très récent sur le sujet (où tu trouveras aussi plein de réfs à des papiers passés) :

http://fr.arxiv.org/abs/astro-ph/0410660

Trés intéressant,merci pour la réf que je vais étudier de plus prés!