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second theoreme de Noether?



  1. #1
    JPouille

    second theoreme de Noether?


    ------

    Salut!
    Le premier theoreme de Noether nous dit que : lorsque l'action est
    invariante par un groupe de Lie d'ordre p, il y a p
    combinaisons lineaires independantes des expressions lagrangiennes qui deviennent des divergences. Ce qui montre alors que si les eq
    lagrangiennes sont satisfaites, on a p courants conserves, et reciproquement.
    (ref : son article original de 1918 traduit en francais dans un bouquin
    sur ses theoremes, chez Ellipse).

    Autrement dit les courants sont conserves (donc la charge, sur un volume tel que "les champs s'annullent sur le bord") QUE si les champs sont les champs physiques.

    Or Weinberg dans son gravitation and cosmology p.363 affirme que
    pour une action donnee, le tenseur d'energie-impulsion est
    conserve (de facon covariante) si et seulement si l'action est un
    scalaire. Autrement dit il semble demontrer que le courant Tmunu est
    conserve dans tous les cas (parce qu'on ecrit tjs une action scalaire) independamment du fait que les champs soient les champs physiques!!??
    Il y a comme une contradiction, non?

    En fait la solution vient sans doute du second th de Noether, qui porte sur les invariances dependant de fonctions quelconque (typiquement inv de jauge). Le probleme est que je ne comprend ce que dit ce theoreme...
    Quelqu'un le sait-il?

    Dans notre cas ici le Tmunu est obtenu par l'invariance sous x -> x +
    dx'(x). il semble donc que les "courants" ainsi obtenus soient automatiquement conserves, et que donc, contrairement aux courants obtenus dans le premier theoreme, leur conservation n'est pas physiquement significaive. On peut d'ailleurs relier cela aux equations des champs de jauge : dmujmu = 0 en
    EM decoule directement du fait que ddF=0 (F antisym), et dTmunu =0 des identites de Bianchi en RG.

    Bref je crois qu'il y a des choses pas si difficiles que ca a comprendre, mais qu'il est important de les comprendre. Je patauge un peu pour l'instant, mais vous pourrez peut etre eclairer ma lanterne...


    JP

    -----

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  3. #2
    j.yves

    Re : second theoreme de Noether?

    Par "champs physiques", tu veux dire solutions des équations du mouvement?

    Moi je connais la démonstration de dmujmu=0 en utilisant l'antisymétrie de Fmunu, et on utilise effectivement des transformations de jauge pour la démonstration. Mais je sais pas si ça peut t'intéresser. Si oui, il va falloir que j'apprenne à taper les formules...

    Et puis je voudrais bien la référence de la traduction française de l'article de Noether chez Ellipses, parce que j'ai vu une fois la version originale dans un bouquin de retirages et impossible de remettre la main dessus... merci d'avance.

  4. #3
    dupo

    Re : second theoreme de Noether?

    bonjour, puisqu'on parle un peu de champ...

    alice:" qu'est ce que la masse ?"
    bob:"une certaine valeur réèlle, provenant d'un casimir d'un certain groupe...mais jamais observé de particules à masse négative..."
    alice:"pourquoi admettre une théorie qui nous prédit 50% de masse qui n'existe pas ?( les réèls négatifs)
    que faudrait il imposer pour qu'on ait un casimir avec une vraie masse uniquement postive ? résultant d'une certaine symétrie ?
    "

    j'aurais voulu continuer la discussion...

  5. #4
    Rincevent

    Re : second theoreme de Noether?

    salut,

    Citation Envoyé par JPouille
    Autrement dit il semble demontrer que le courant Tmunu est conserve dans tous les cas (parce qu'on ecrit tjs une action scalaire) independamment du fait que les champs soient les champs physiques!!??
    Il y a comme une contradiction, non?
    je sais pas si j'ai bien compris ton problème, car il me semble que tu donnes tous les éléments dans ton message... je vais donc te résumer ce que j'ai compris (ce qui recoupera inévitablement des trucs que tu sais déjà et que tu as même déjà dits ici), avec une remarque introductive :

    En fait la solution vient sans doute du second th de Noether,
    si j'ai réellement compris ce qui te dérange, oui, c'est bien la "solution" à ton problème.

    le premier théorème porte sur les symétries globales, i.e. les groupes de Lie de dimension finie (ce que Noether appelle les "finite continuous groups"). Le théorème te dit que tu as un courant conservé pour chacun des générateurs du groupe, avec la condition nécessaire et suffisante que les champs dont dépend ton lagrangien vérifient les équations d'Euler (= "champs physiques" selon ta terminologie, je pense).

    en revanche, le deuxième théorème porte sur les symétries locales (groupes de Lie de dimension infinie ou "infinite continuous groups"). Dans ce cas, tu sais que l'on arrive à un certain nombre de relations entre les champs. Le résultat que tu peux montrer ensuite, c'est qu'à l'aide du deuxième théorème (c'est-à-dire les relations que tu obtiens) et des équations des champs de jauge, les courants sont conservés indépendamment des équations des champs de matière. On montre que le fait que les champs de matière soient physiques reste une condition suffisante pour conserver les charges, mais elle n'est plus nécessaire.

    donc puisque Weinberg parle du cas des groupes de Lie de dimension infinie, c'est le deuxième théorème qui s'applique.

    m'enfin, j'ai pas l'impression d'avoir dit quoique ce soit de plus que toi...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    j.yves

    Re : second theoreme de Noether?

    Citation Envoyé par Rincevent
    les courants sont conservés indépendamment des équations des champs de matière.
    Je comprends pas... Je sais qu'en imposant une invariance de jauge du lagrangien pour un groupe jauge abelien, par exemple, on en deduit sans autre hypothese que le tenseur du champ electromagnetique est antisymetrique, que le courant est conserve, et les equations de Maxwell. Mais on a bien besoin des equations du mouvement d'Euler pour tout ca... Desole si ma question est idiote.

  8. #6
    JPouille

    Re : second theoreme de Noether?

    > Par "champs physiques", tu veux dire solutions des équations du mouvement?
    Oui, pardon. Il faut en effet, pour saisir justement la subtilité du deuxième théorème, bien distinguer les champs quelconque mis dans l'action et les solutions des eq de lagrange.

    Citation Envoyé par Rincevent
    salut,
    m'enfin, j'ai pas l'impression d'avoir dit quoique ce soit de plus que toi...
    Merci! Si, tu as dit plus de choses que moi, puisque tu l'as dis dans le bon ordre. Voilà qui m'éclaire et confirme des articles que j'ai trouvé hier (hep-th 0009058 sans doute pas le meilleur mais avec des ref dedans)

    l
    Citation Envoyé par Rincevent
    es courants sont conservés indépendamment des équations des champs de matière. On montre que le fait que les champs de matière soient physiques reste une condition suffisante pour conserver les charges, mais elle n'est plus nécessaire.
    Ok. C'est interessant. Bizarre même. Que je vous explique un peu pourquoi je me posais cette question : dans le cadre du premier théorème, on a donc, il me semble (?) l'équivalence entre
    1.(imposer dmujmu=0)
    2.les champs satisfont les eq de Lagrange
    3.(equivalent a 2) la théorie est décrite par une action dont dS=0 nous donne les solutions physiques (principe de moindre action)

    ie mon idée à la base était de comprendre le principe de moindre action, non pas comme postulat fondamental (difficile à interpréter), mais comme formulation équivalente à un postulat aussi fondamental qui serait : on peut décrire nos champs uniquement par les courants qu'ils portent, ceux-ci étant conservés (au sens dmujmu=0). Je trouve cette vision des choses beaucoup plus limpide dans l'interprétation, car on aurait ici identifier nos objets fondamentaux comme étant les courants. On dévelloppe alors ainsi une théorie des courants. (NB : dans la littérature, Gell-Man a proposé une telle théorie des courants, quelques travaux en 70 : Sugawara, Weinberg et Deser, mais les gens n'ont pas continué)
    Je ne suis pas encore sur de l'équivalence entre 1 et 2, notamment a cause du second théorème. Je vais y réfléchir ce WE.

    Qu'en pensez-vous? NB : il s'agit ici bien sûr uniquement de physique classique, la conservation des charges n'étant plus locale en PhyQ.

    JPouille

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  10. #7
    JPouille

    Re : second theoreme de Noether?

    Citation Envoyé par j.yves
    Je comprends pas... Je sais qu'en imposant une invariance de jauge du lagrangien pour un groupe jauge abelien, par exemple, on en deduit sans autre hypothese que le tenseur du champ electromagnetique est antisymetrique, que le courant est conserve, et les equations de Maxwell. Mais on a bien besoin des equations du mouvement d'Euler pour tout ca... Desole si ma question est idiote.
    hum... non. En fait si je pars d'une action invariante (globale pour l'instant), alors utilisant cette invariance je peux écrire des équations du type dmujmu = une expression linéaire en les "expressions lagrangiennes" comme l'appelle Noether, ie typiquement dL/dphi - dmu dL/d(dmuphi) quand on n'a que des derivées premieres. Et ceci est vrai pour toute valeurs du champs. D'ou l'equivalence entre la conservation des courants et les equations de lagrange.

    Ce qui doit se passer pour des inv locales (tu me corigeras Rincevent ), c'est, je pense, qu'on écrit une formule du même type (quoique différente), et que du fait de l'antisymétrie de Fmunu par exemple, le dmujmu est automatiquement nul independemment de la valeur des champs. Si j'ai bien compris c'est ca qui se passe. Reste que je dois le vérifier sur les équations ... au boulot!

    Quand à ce que ca signifie... c'est autre chose. Je sais que c'est notamment relié à la difficulté de définir une conservation de l'énergie en relat G (Noether en parle déjà en 1918!! argh), même si je ne vois pas encore vraiment le rapport. Je vous l'expliquerai quand j'aurai compris!

    jp

  11. #8
    Rincevent

    Re : second theoreme de Noether?

    Citation Envoyé par JPouille
    ie mon idée à la base était de comprendre le principe de moindre action, non pas comme postulat fondamental (difficile à interpréter),
    avec la formulation de Feynman de la MQ, il devient un peu plus "naturel", non ?

    Je ne suis pas encore sur de l'équivalence entre 1 et 2, notamment a cause du second théorème. Je vais y réfléchir ce WE. Qu'en pensez-vous?
    qu'il faut que je révise les détails du cas local car tout n'est pas parfaitement limpide pour moi

    une lecture qui me semble pas mal (survolée rapidement) :

    http://www.physik.fu-berlin.de/~klei...es/conslaw.pdf

    Noether en parle déjà en 1918!!
    une bonne raison pour ça est que la RG était sa motivation première... voir :

    http://www.physics.ucla.edu/~cwp/art...g/noether.html
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  12. #9
    JPouille

    Re : second theoreme de Noether?

    Citation Envoyé par Rincevent
    avec la formulation de Feynman de la MQ, il devient un peu plus "naturel", non ?
    Certes... mais il n'empeche que les théories découlant de cas limites d'une théorie plus vaste sont en général elle-même consistantes en soi, dans un cadre d'axiomes adapté... ex : la RG est consistante en tant que th de jauge même si elle découle très certainement d'une gravité quantique complètement diférente!

  13. #10
    j.yves

    Re : second theoreme de Noether?

    Citation Envoyé par JPouille
    En fait si je pars d'une action invariante (globale pour l'instant), alors utilisant cette invariance je peux écrire des équations du type dmujmu = une expression linéaire en les "expressions lagrangiennes" comme l'appelle Noether, ie typiquement dL/dphi - dmu dL/d(dmuphi) quand on n'a que des derivées premieres. Et ceci est vrai pour toute valeurs du champs. D'ou l'equivalence entre la conservation des courants et les equations de lagrange.
    Oui, donc dmujmu=0 seulement quand dL/dphi - dmu dL/d(dmuphi)=0, c'est à dire quand on est sur les trajectoires du mouvement. Bref je crois qu'on voulait dire la même chose, j'ai dû mal m'exprimer... Et en prime j'ai dû mal comprendre ta question de départ. Je vais aller regarder les sites que mentionne Rincevent, ça m'évitera de continuer a dire des bêtises... mais pour ce qui est de l'algèbre des courants à la Weinberg, on avait choisi cette approche parce qu'on ne connaissait QUE les symétries des interactions fortes à l'époque, et si on avait connu le lagrangien, on ne se serait pas donné tant de mal. Donc le déclin de ce courant (!) de pensée me paraît assez naturel... il coïncide avec la découverte du lagrangien en 1973, moyennant une légère inertie.

  14. #11
    JPouille

    Re : second theoreme de Noether?

    Citation Envoyé par j.yves
    Et puis je voudrais bien la référence de la traduction française de l'article de Noether chez Ellipses, parce que j'ai vu une fois la version originale dans un bouquin de retirages et impossible de remettre la main dessus... merci d'avance.
    Autant pour moi, il s'agit en fait des éditions de l'école polytechnique, de Yvette Kosmann-Schwarzbach, collection histoire des mathématiques, titre "Les théorèmes de Noether". Personellement je l'ai trouvé chez Gibert à Paris. Ca vaut surtout le coup pour l'article original. Le texte qui suit n'en est (en lecture diagonale rapide) qu'une pâle réplique.

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