Problème Espace vectoriel

[invite28cb3f26]

Bonjour es ce que qlq'1 peux m'aider je suis completement paumé avec les espaces vectoriels.
Voici l'enoncé, ca a l'air tout con mais je sais pas comment proceder. Si une personne veut bien m'aider en m'expliquant les differentes etapes de resolution de cet exo se serai super sympa.

Certain autres post parle des espaces vectoriels mais j'ai pas compris!

Précisez la dimension n de ces ensembles et lequels forment un sev de Rn :

A= {(x1,x2); x1=x2 }

B= {(x1,x2,x3); x1=x2 }

C= {(x1,x2) ; 2x1+3x2=0 }

Merci d'avance
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[inviteaf1870ed]

D'abord tu ne peux parler de dimension d'un ensemble que si c'est un sous espace vectoriel.
Je te propose donc de voir quels ensembles sont des sev parmi ceux que tu cites. Ensuite tu en cherches par exemple une base, et tu en déduis la dimension.

[Médiat]

D'abord tu ne peux parler de dimension d'un ensemble que si c'est un sous espace vectoriel.

Pas forcément, la dimension est le cardinal des familles libres maximales, il n'est pas nécessaire d'avoir un sur-espace vectoriel...

[inviteaf1870ed]

Oui tu as raison de pinailler, j'ai été imprécis. Je voulais dire espace vectoriel, le préfixe "sous" était superfétatoire...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite28cb3f26]

Ok merci pour ces infos mais alors comment on fait pour qu'il y a une base dans cet espace vectoriel
Quels sont les etapes de résolution ?

[invite76db3c86]

Ok merci pour ces infos mais alors comment on fait pour qu'il y a une base dans cet espace vectoriel
Quels sont les etapes de résolution ?

je crois qu'une base , c'est un sous-espace qui contient la famille de vecteur qui servent à exprimer les vecteurs de l'espace , il faut que ses vecteurs soit libres( par exemple 3x1+2x2=0 cité dans l'énoncé , indique que les x1 et x2 sont libres) , et qu'il soient générateurs

[invite965db33f]

je crois qu'une base , c'est un sous-espace qui contient la famille de vecteur qui servent à exprimer les vecteurs de l'espace , il faut que ses vecteurs soit libres( par exemple 3x1+2x2=0 cité dans l'énoncé , indique que les x1 et x2 sont libres) , et qu'il soient générateurs

J'avoue bloquer plus ou moins sur le sens de ces ensembles (qui n'en ont pas d'ailleurs puisqu'ils manquent des trucs sur l'appartenance des objets).


Par contre moi j'ai toujours appris que x et y était libres si justement l'unique relation entre les 2 telle que leur somme soit égale à zéro implique que leur coefficient respectif soient tous nuls. Mais là 3 et 2 sont différents de zero.... non ? Donc cette famille est bien liée.

[invitec053041c]

Bonsoir.

je crois qu'une base , c'est un sous-espace qui contient la famille de vecteur qui servent à exprimer les vecteurs de l'espace , il faut que ses vecteurs soit libres( par exemple 3x1+2x2=0 cité dans l'énoncé , indique que les x1 et x2 sont libres) , et qu'il soient générateurs

Ce que tu dis là est très confus à vrai dire.
Une base n'est pas un sous espace, c'est une famille de vecteurs, mais qui engendre un ev ou un sev.

Cela étant dit, une base doit en effet être génératrice (tout vecteur du sev ou de l'ev considéré est combinaison lin. des vecteurs de la base).
Elle doit aussi être une famille libre,au sens où: s'il existe une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille qui donne le vecteur nul, alors les coefficients de la comb. lin. sont nuls à coup sûr.

Dans le cas présent,nous sommes dans R^n, donc un vecteur de R^n s'écrit u=(x1,...,xn).
Le fait que 3x1+2x2=0 n'indique rien sur une quelconque liberté, puisque x1 et x2 sont ici des scalaires, et non des vecteurs, donc il n'y a pas de sens à parler de leur liberté.


Pour revenir au sujet initial, cet exemple d'exercice est un des rares cas où l'on doit chercher une famille génératrice pour trouver une base.

Je te montre le cheminement pour B= {(x1,x2,x3); x1=x2 }

Tout vecteur u(a,b,c) appartenant à B peut s'écrire u(a,a,c)=a(1,1,0)+c(0,0,1)
(donc est comb. linéaire de deux vecteurs que j'ai exhibés, il te reste à montrer que ces deux vecteurs sont libres ).

Cordialement.

[invite76db3c86]

Bonsoir.



Ce que tu dis là est très confus à vrai dire.
Une base n'est pas un sous espace, c'est une famille de vecteurs, mais qui engendre un ev ou un sev.

Cela étant dit, une base doit en effet être génératrice (tout vecteur du sev ou de l'ev considéré est combinaison lin. des vecteurs de la base).
Elle doit aussi être une famille libre,au sens où: s'il existe une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille qui donne le vecteur nul, alors les coefficients de la comb. lin. sont nuls à coup sûr.

Dans le cas présent,nous sommes dans R^n, donc un vecteur de R^n s'écrit u=(x1,...,xn).
Le fait que 3x1+2x2=0 n'indique rien sur une quelconque liberté, puisque x1 et x2 sont ici des scalaires, et non des vecteurs, donc il n'y a pas de sens à parler de leur liberté.


Pour revenir au sujet initial, cet exemple d'exercice est un des rares cas où l'on doit chercher une famille génératrice pour trouver une base.

Je te montre le cheminement pour B= {(x1,x2,x3); x1=x2 }

Tout vecteur u(a,b,c) appartenant à B peut s'écrire u(a,a,c)=a(1,1,0)+c(0,0,1)
(donc est comb. linéaire de deux vecteurs que j'ai exhibés, il te reste à montrer que ces deux vecteurs sont libres ).

Cordialement.

ah oui , merci de me corriger , je n'avais pas appris ca com ca ... merci , euh , x1 et x2 sont des scalaires de koa?

[invitec053041c]

ah oui , merci de me corriger , je n'avais pas appris ca com ca ... merci , euh , x1 et x2 sont des scalaires de koa?

Cela relève de l'étude du dual, c'est-à-dire de l'espace vectoriel des formes linéaires de E.
Bref, x1 représente la première coordonnée d'un vecteur de E, et x2 la seconde coordonnée dans la base canonique.
Les coordonnées sont bien des scalaires, car u=(x1,x2,...,xn)=x1(1,0,...)+x 2(0,1,0,...)+...+xn(0,...,1)

[invite76db3c86]

Cela relève de l'étude du dual, c'est-à-dire de l'espace vectoriel des formes linéaires de E.
Bref, x1 représente la première coordonnée d'un vecteur de E, et x2 la seconde coordonnée dans la base canonique.
Les coordonnées sont bien des scalaires, car u=(x1,x2,...,xn)=x1(1,0,...)+x 2(0,1,0,...)+...+xn(0,...,1)

un scalaire peut déterminer un vecteur ? je croyais que c'était à partir des vecteurs que l'on détermine un scalaire