Topologie

[invitecbade190]

Bonsoir :
Qu'est ce que c'est que la topologie de la convergence simple ?
Comment construit-t-on les ouverts de cette topologie ?
Merci d'avance !!
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[invite4ef352d8]

Salut !

on parle de la topologie de la convergence simple pour des espaces de suites, ou de fonctions, je vais supposer qu'on parle par exemple des suites de R.

C'est la topologie dans la qu'elle une suite (Un)k converge (une suites de suites) converge vers Vn si et seulement pour tous n Un,k -> Vn quand k tend vers l'infinit.



tu peut définir les fermé a partir de cela (ce sont les ensembles ou quand une suites de l'ensemble converge elle converge dans l'ensemble) et les ouvert sont les complémentaire des fermé...


ceci dit si tu veux une description plus précise, il s'agit (dans ce cas) de la topologie produit sur R^N (enfin ... sauf erreur ) les ouvert sont donc générer par les ensemble de la forme :
O1*O2...*On, ou O1,...On sont des ouvert de R.

[invitecbade190]

Bonsoir :
Merci "Ksilver" pour ta reponse !
j'ai une autre question sur le même sujet "la topologie" :
Est ce que quelqu'un pourrait me donner un exemple simple d'un espace topologique tel que admet un système fondamental de voisinages denombrable et ne possède aucune base dénombrable d'ouverts.
est un système fondamental de voisinages denombrable si : .
possède une base denombrable de d'ouverts si : une suite d'ouverts telle que tout ouvert de est reunion des
Merci d'avance !!

[Médiat]

Est ce que quelqu'un pourrait me donner un exemple simple d'un espace topologique tel que admet un système fondamental de voisinages denombrable et ne possède aucune base dénombrable d'ouverts.
est un système fondamental de voisinages denombrable si : .
possède une base denombrable de d'ouverts si : une suite d'ouverts telle que tout ouvert de est reunion des
Merci d'avance !!

Est-ce que IR muni de la topologie discrète ne répond pas à cette question ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Bonjour "Mediat" :
Dans , la topologie usuelle ( exprimé par la valeur absolue ) est inclus dans la topologie dicrète ( la topologie usuelle est moins fine que la topologie discrète ) et puisque tout ouvert est reunion dénombrable d'intervalles ouverts ( boules ouvertes ) dans la topologie usuelle ... ,Alors, ça ne repond pas au problème !!

[Médiat]

Dans , la topologie usuelle ( exprimé par la valeur absolue ) est inclus dans la topologie dicrète ( la topologie usuelle est moins fine que la topologie discrète ) et puisque tout ouvert est reunion dénombrable d'intervalles ouverts ( boules ouvertes ) dans la topologie usuelle ... ,Alors, ça ne repond pas au problème !!

Bonjour chentouf,
Je vois mal comment une famille dénombrable pourrait contenir tous les singletons de IR qui n'est pas dénombrable.

[invite986312212]

à mon avis l'exemple de Médiat est correct. Un ensemble non dénombrable muni de la topologie discrète n'a pas de base dénombrable d'ouverts, mais chaque point x a une base dénombrable de voisinage, et même une base réduite à un ouvert, l'ouvert {x}.

[invite35452583]

ceci dit si tu veux une description plus précise, il s'agit (dans ce cas) de la topologie produit sur R^N (enfin ... sauf erreur ) les ouvert sont donc générer par les ensemble de la forme :
O1*O2...*On, ou O1,...On sont des ouvert de R.

Tu fais bien d'être prudent car il y a erreur, cette topologie est beaucoup trop fine (trop d'ouverts).
Par exemple la suite (un)k=1/(kn) pour n,k>0 ne converge pas vers la suite nulle : le voisinage ouvert de la suite nulle pour la topologie décrite ne contient aucun élément de la suite car pour k donné et n>k u_k(n) n'est pas dans ]-1/n²;1/n²[. Je crois que les seules suites qui convergent pour cette topologie sont les suites telles qu'à partir d'un certain rang k₀, tous les termes u_k(n) sont stationnaires sauf pour un nombre fini de n pour lesquels il y a malgré tout convergence. (Ca fait trop peu pour être intéressant).
C'est bien la topologie produit dans ce cas mais les ouverts de celles-ci sont :
O1xO2x...xOnx... où tous les On ont ouverts et égaux, sauf un nombre fini, à R. C'est stable par intersection finie donc candidat pour être base de voisinage d'une topologie.
Une autre manière de la décrire est celle-ci : c'est la plus petite topologie qui rend toutes les fonctions d'évaluation (ev_n : (u_n)_{n dans N} l-> u_n) continues.
C'est aussi (dans ce cas) la topologie compacte-ouverte dont une base de voisinage est : V(K,U)={fonctions envoyant K dans U} (Pour le cas N, les "K" sont des parties finies avec la topologie usuelle sur N càd la discrète, il est évident que ces voisinages sont des voisinages de la topologie produit, inversement les voisinages de base de la topologie produit sont tous inclus dans un des voisinages de la topologie compacte-ouverte).

A part ça, l'exemple de Médiat me paraît aussi correct.

[invited482ab49]

Bonjour "Mediat" :
Dans , la topologie usuelle ( exprimé par la valeur absolue ) est inclus dans la topologie dicrète ( la topologie usuelle est moins fine que la topologie discrète ) et puisque tout ouvert est reunion dénombrable d'intervalles ouverts ( boules ouvertes ) dans la topologie usuelle ... ,Alors, ça ne repond pas au problème !!

je pense que Mediat a raison! n'importe quel espace X infini non dénombrable muni de la topologie discrète répond bien à la question!!!

[invite35452583]

Bonjour "Mediat" :
Dans , la topologie usuelle ( exprimé par la valeur absolue ) est inclus dans la topologie dicrète ( la topologie usuelle est moins fine que la topologie discrète ) et puisque tout ouvert est reunion dénombrable d'intervalles ouverts ( boules ouvertes ) dans la topologie usuelle ... ,Alors, ça ne repond pas au problème !!

Dans la topologie discrète il y a justement plus d'ouverts donc ton contre-argument (un peu bancal, même pour la topologie usuelle, car l'ensemble des intervalles ouverts de R n'est pas dénombrables il faut se restriendre aux r,r'[ r et r' rationnels par exemple) ne tient pas.
Montrons "plus proprement" que la topologie discrète sur un ensemble infini X non dénombrable n'admet pas de système fondamental dénombrable d'ouverts (quoique tout est déjà dit) :
supposons qu'une telle base B existe alors pour tout x dans X, le sous-espace {x} est ouvert, il existe donc des ouverts (Bi) dans B tels que U_i B_i={x}, les Bi étant inclus dans {x} ils sont égaux à l'ensemble vide ou à {x}, et il y en a au moins un qui est égal à {x} sinon l'union des Bi est vide. Ainsi pour tout x dans X, {x} est dans la base de voisinage B qui ne peut être dénombrable par hypothèse.
Par contre, comme le singleton { {x} } est une base de voisinage d'ouverts de x , il existe bien une base au plus dénombrable de voisinage ouvert pour tout x. (Si on veut strictement dénombrable on choisit une famillle dénombrable d'éléments xi de X et on prend comme base { {x,xi}, i dans N})

[invite986312212]

je viens de regarder dans le Steen & Seebach, ils donnent un certain nombre d'exemples plus ou moins tarabiscotés. Un qui est amusant: dans le plan R^2, on mesure la distance entre deux points le long de droites passant par 0 (si x,y,0 sont alignés c'est la distance usuelle, sinon c'est la somme des distances de 0 à x et de 0 à y). Les boules ouvertes sont des segments de droite passant par 0. Du coup tout point a une base dénombrable de voisinages (les segments de longueur 1/n par exemple) mais il n'y a pas de base dénombrable d'ouverts (en fait on montre que cet espace n'est pas séparable, ce qui est dû au fait que l'adhérence d'une partie dénombrable X est incluse dans un ensemble dénombrable de droites issues de 0)

[invite4ef352d8]

euh oui je suis d'accrd avec toi Homotopie, ce que j'ai écrit n'avait pas vraiment de sens (O1 *..*On, c'est pas un ouvert de R^N..., mais de R^n ^^ ) je pensait effectivement a O1*...*On*R^N.

[invite35452583]

euh oui je suis d'accrd avec toi Homotopie, ce que j'ai écrit n'avait pas vraiment de sens (O1 *..*On, c'est pas un ouvert de R^N..., mais de R^n ^^ ) je pensait effectivement a O1*...*On*R^N.

Ce n'est pas bien grave et ça aura permis de rappeler un peu pourquoi c'est cette base d'ouverts qui a été choisie pour la topologie produit.