Etude et Questions sur les polyèdres réguliers

[invite412d5745]

J'ai entrepris une petite "étude" sur les Polyèdre Régulier ( PR ) et leurs équivalents dans les dimensions supérieurs, ceci avec une approche tres arithmétiques.
Les résultats sont encourageants puisqu'il semble que le systeme d'équations soit capable de générer tous les PR quelque soit la dimension n ( PR n d ), tous les pavages réguliers ( "pavage" infini de PR n d ), des solutions "triviales" ( par exemple des "objets" dont les faces ont 2 cotés), mais aussi des solutions "exotiques" sur lesquelles j'aimerai obtenir quelques explications, corrections, commentaires, etc ...
L'objectif de cette étude est d'obtenir pour chaque PR une "grille" de résultats de type :
Exemple de grille pour PR 3d :
_.___s/A__s/F__|__s/V
a/S___.___a/F__|__a/V
f/S__f/A___.____|__f/V
s/V signifiant : nombre de sommets par volume. (s = sommet ; a = arete ; f = face ; v = volume ; h = hypervolume (4d) )
Exemple de résultat : cas du cube ( PR 3d )
._2_4_|_8
3_._4_|_12
3_2_._|_6
Une des faiblesses de ce travail est que pour les PR 2n d, il reste une variable libre entrainant une grille de résultats de type :
Cas de l'hypercube ( PR 4d ) :
._2_4_8_|_2x
4_._4_12|_4x
6_3_._6_|_3x
4_3_2_._|_x
X étant indterminé.
Dans le cas des PR 2n d "simple", il est relativement facile de lever cette indétermination ( ici x=8 ).
Pour les dimensions supérieures paires ( 6, 8, ... ) le "cheptel" de PR semble se réduire à 3 (type hypercube et son dual, type hypertétraèdre ) plus 1 pavage régulier constitué d'hypercube, et donc cette faiblesse ne pose pas de problème, sinon de principe ...
Dans le cas des PR 4d certains objets, en l'absence de méthode, me pose de gros problèmes.
C'est aussi à cette dimension ( et uniquement à cette dimension, ce qui m'étonne et me pousse à vous interroger ) qu'apparaissent les objets dits exotiques.
Exemple ( construit avec des cubes ) :
_._2_4_8_|_2x
12_._4_12|_12x
30_5_._6_|_15x
20_5_2_._|_5x
Cela revient à vouloir mettre 5 cubes autour d'une arète !
J'ai tendance à considerer que
Lorsque l'on met 3 cubes autour d'une arète on est dans un espace 3d sphérique ( "frontière" d'une hypersphère 4d ). Je qualifie ces solutions de "Pavage Sphérique" ( PS ) , quelque soit le nombre de dimension de l'objet.
Lorsque l'on en met 4 on est dans un espace 3d "plat" et l'on obtient un pavage cubique de l'espace 3d classique. solutions de type : "Pavage Euclidien" ( PE ).
Lorsque l'on en met 5 ... "Pavage Hyperbolique" ( PH ) ? x est-il infini ? solution géométriquement inacceptable ? ...

Suivent les hypothèses et équations de bases ayant servi à ces calculs :

* Un PR n d est constitué de PR (n-1) d fini. (nombre fini de sommets)
* Le dual d'un PR n d est un PR n d.
* Relation d'Euler_Poincaré. ( ex: S-A+F=2 òu S-A+F-V=0 ). Relation utilisée sans en connaitre les conditions d'applications ...
* Equations "structurelles" òu "connectives".
ex pour PR 4 d : s/A * a/H = s/H * a/S
ex pour PR 4 d : a/S * v/A = v/S * a/S)₃
a/S)₃ signifiant : nombre d'arètes par sommet au sein d'un volume (d'ou l'indice"3" pour volume).
Les calculs nous ramène à une equation a plusieurs inconnu mais acceptant un nombre fini de solutions géométriquement acceptables.

A celles et ceux qui auront lu ce méssage : bravo et désolé pour cette mise en page déplorage. ( nouveau internet et sur ce site ...)
Je tiens à votre disposition la liste des PR fabriqués ainsi que le détail des calculs.

Salutations.


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[kNz]

Salut,

Désolé je ne vais pas pouvoir t'aider mais, par le plus grand des hasards cette étude ça ne serait pas pour un séminaire de mathématiques ?

Désolé si je suis à côté de la plaque

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je dois avouer qu'il est dur de savoir ce que tu fais. Je ne comprends pas bien à quoi correspond ta grille, ni comment ça te donne "le résultat" du cube (?): Il y a un raisonnement caché derrière, ou c'est juste un exemple ?

Bref, tout ça me laisse bien dubitatif.... Mais semble intéressant. Si tu as le temps d'éclaircir un peu tes dires, ou au moins de répondre à mes questions, ce serait chouette.

Par ailleurs, je ne vois pas en quoi cela constitue une approche très arithmétique.

Enfin, j'aimerais savoir ce que tu entends par polyèdre régulier, pavage régulier, etc... puisqu'il semble que chaque personne a sa propre définition. Pour moi, en tout cas, c'est une propriété du groupe des transformations qui laissent ta figure invariante.

__
rvz

[invite35452583]

Je pense avoir compris les notations,
Exemple de résultat : cas du cube ( PR 3d )
._2_4_|_8
3_._4_|_12
3_2_._|_6
2 sommets par arêtes (ça c'est un invariant)
4 sommets par face (les faces sont donc des carrés puisque c'est régulier)
3 arêtes par sommet
4 arêtes par faces (ce sont toujours des carrés)
3 faces par sommets
2 faces par arêtes (cela aussi est un invariant pour la 3D).

8 sommets
12 arêtes
6 faces
C'est bien le cube 3D.

Le fait que ce soit arithmétique est de ne prendre en compte que les solutions (du moins initialement) des équations pour D3 :
nombre de faces par sommets x nombre de sommets par arêtes= nombre de faces par arêtesx nombre d'arêtes par sommet (si je ne me suis pas trompé).
ou relation d'Euler-Poincaré : en D3 F-A+S=2, en D4 -V+F-A+S=0. Relations qui sont bien vérifiées pour les polyèdres réguliers car sont homéomorphes aux sphères.

Par contre comment pour l'hypercube la levée de l'indéterminée (x) qui est est égale, ci, aux "volumes" est réalisée, je n'ai pas bien saisi.

Pour la définition de PR je crois qu'ici c'est il existe pour chaque couple de sommets x,y une isométrie qui laisse le Pr globalement invariant et envoie x sur y.

Maintenant, le fait de mettre 5 cubes autour d'une arête ne me paraît pas choquant mais je ne suis pas habitué aux PR en dimension 4. Je vais regarder à l'occasion quand même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Pour information, il y a bien 5 polyèdres réguliers convexes en dimension 3, 6 polychores réguliers convexes en dimension 4, et 3 pour toutes les dimensions supérieures.
Après on peut passer aux polyèdres réguliers non convexes, et il y en a 4 en dimension 3, les polyèdres de Kepler-Poinsot.
Je pense que la définition suivante doit tenir la route : le "polytope-n régulier", c'est celui dont toutes les "faces" sont des "polytopes-(n–1) réguliers" identiques, et dont tous les sommets sont sur la même "sphère-n".
Si on supprime le "identique", on tombe sur les "polytopes-n uniformes".

[invite986312212]

Salut,
Enfin, j'aimerais savoir ce que tu entends par polyèdre régulier, pavage régulier, etc... puisqu'il semble que chaque personne a sa propre définition. Pour moi, en tout cas, c'est une propriété du groupe des transformations qui laissent ta figure invariante.

il ya quelque-chose de très frappant avec les solides platoniciens, c'est qu'on peut les définir comme réguliers au sens "métrique": toutes les arêtes ont même longueur, toutes les faces même nombre de côtés, tous les angles (entre arêtes comme entre faces) égaux, et finalement tous les sommets sur la même sphère, mais on peut aussi les définir comme réguliers au sens "topologique": les arêtes forment des graphes planaires où tous les sommets ont même degré et les faces même nombre de côtés.

je me demande si la même chose est vraie en dimension supérieure.

[invite35452583]

Pour la définition de PR je crois qu'ici c'est il existe pour chaque couple de sommets x,y une isométrie qui laisse le Pr globalement invariant et envoie x sur y.

Oups, ce n'est pas sufisamment rigide comme définition (ça doit convenir pour un polytope uniforme peut-être), en effet un "ballon de football" vérifie cette définition mais n'est pas régulier.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Justement Homotopie, c'était pour ce genre de raisons que je demandaisà jump38 de donner "sa" définition. Justement, selon les définitions, le ballon de foot est ou n'est pas un polyèdre régulier.

D'ailleurs je serai curieux d'avoir un retour de jump38 ...

__
rvz

[invite412d5745]

Salut à tous

Tout d'abord, en réponse à RVZ.
Je comprend que mon message soit assez obscur, c'est un résumé, fort long, me permetant de poser les questions qui me préoccupent. Je vais essayer de clarifier.
La grille est le résultat final du calcul. Homotopie en a donner une lecture trés éfficace, merci à lui.
Le point de dépard des calculs sont les équations données en fin de méssage.

Quand à la définition des PR, j'en ai une perception trés intuive, sans doute trés peu intérressante par rapport aux définitions officiels.
Je dirai simplement que tous les objets constitutif d'un PR ( sommets, arètes, faces, volumes ...) doivent avoir les mêmes propriétés :
Tous les sommets appartiennent au même nombre d'arète, de face, de volume.
Toutes les arètes ont le même nombres de sommets et appartiennent au même nombres de faces, de volume.
...
J'ai qualifier, peut-être un peu abusivement, cette approche de trés arithmétique car à aucun moment je n'aborde les questions de distance ou d'angle.

A Homotopie :
Merci d'avoir apporté des eclaircissements à mon texte.
Je n'ai aucun moyen de lever l'indetermination de "x" dans le cas général, hélas...
Dans le cas de l'hypercube, de son dual et de l'hypertétraèdre, un raisonnement "fragile" permet de calculer x. (les livres ont confirmer ce résultat).

ex pour l'hypercubes :

Constuction du carré :
Partant d'un segment ( 1 arète et 2 sommets. PR 1 d !? ), en faire une copie que l'on place à coté du segment initial. Relier chaque sommet à sa copie par une arète. "Relier" le segment à sa copie par une face.
on obtient un carré !
nombre de sommets du carré = 2*nombre de sommet du segment = 4. ( sommet initiaux + copie )
nombre d'arètes du carré = 2*nombre d'arètes initiales + nb de sommets initiaux = 4 (chaque sommet initial est relié à sa copie par une arète)
nombre de faces du carré = nombre d'arète du segment =1.

Construction du cube :
Partant d'un carré, en faire une copie.
relier les sommets jumaux par une arète, les arètes par une face, les faces par un volume.
Faire le compte :
sommet = 2*4 = 8
arète = 2*4 + 4 = 12
face = 2*1 + 4 = 6 (1 face initiale et sa copie, plus 4 faces provenant des 4 arètes du carré)
volume = 1

Construction de l'hypercube :
Du cube en faire une copie.
relier les sommet par une arète, les arète par une face, les faces par un volume, le volume par un hypervolume 4d.
sommet = 2*8 = 16
arète = 2*12 + 8 = 32
face = 2*6 + 12 = 24
volume = 2*1 + 6 = 8
Hvolume = 1

Le raisonnement se poursuit et se formalise a l'aide des combinatoires. (ayant des problèmes de mise en page je ne peut l'ecrire.
On peut cependant remarquer que les nombres obtenues sont les mêmes que ceux que l'on obtient en dévellopant
(a+b)ⁿ avec a=1 b=2 n=dimension de l'objet (n=3 pour le cube). (1+2)³=1+6+12+8
Le même type de raisonnement permet de généraliser le tétraèdre et l'octaèdre, et donc de determiner "x".

Détail des calculs pour les PR 3d :

Ensemble des équatons de dépard:
Relation d'Euler : s-a+v=2 Avec mes notations : s/V - a/V + f/V = 2 ( eq I )
un PR 3d est constituer de PR 2d (face = polygone régulier), on peu donc lui appliquer la relation d'Euler : s/F - a/F = 0
Le dual d'un PR 3d est un PR 3d :
cela revient à remplacer une face par un sommet, une arète par une arète, un sommet par une face. le volume reste inchanger.
s/V devient f/V , a/V reste inchanger, f/V devient s/V
a/S devient a/F . f/S devient s/F .
Les relations d'Euler sur les volumes et les faces de ce PR donnent :
f/V - a/V + s/V = 2 (même relation que précédament)
f/S - a/S = 0
Equations structurelles :
s/A * a/V = s/V * a/S ( eq II )
s/F * f/V = s/V * f/S ( eq III )
a/F * f/V = a/V * f/A
f/A * a/S = f/S * a/S)₂
a/S)₂ signifiant arète par sommet au sein d'une face ( PR 2d ). a/S)₂ = 2
L'ensemble de ces équations apportent des informations redondantes ...
On a, par ailleur, de manière assez logique : s/A = 2 ; f/A = 2 ( la relation d'Euler appliquer au PR 1d dirai la même chose ... )

EN partant de l'équation I ,en se servant des équations II et III pour exprimer a/V et f/V en fonction de s/V , et en utilisant a/S = f/S et s/F = a/F ,
on obtient : s/V * ( 2*s/F - a/S * ( s/F - 2) ) = 4 * s/F
En étudiant les solutions géométriquement acceptables on voit que s/F = 3,4,5 ou 6.
Pour chacune de ces valeurs le choix de a/S est trés limité.
on obtient donc s/V et l'ensemble des valeurs recherchées.
Je vous invite à faire ces calculs, y compris en acceptant les valeurs infini ou les valeur 2 (s/F = 2).

J'espère que cette lettre répondra aux questions qui m'ont été posées.

Cette même approche pour les PR 4d donne 6 solutions convexes, 1 solution "planes" ( réseau infini de cubes ) et 4 solutions "exotiques" ( 2 sont duals l'une de l'autres , les 2 autres sont leurs propres duals ).

Solutions exotiques en 4d :

_.__2__3__12_|_x
20__.__3__30_|_10x
30__3__.__20_|_10x
12__3__2__.__|_x
structure construite par des icosaèdres.
autodual.
angle du dièdre = 138,1...degrés, donc impossible en géométrie plane d'en mettre 3 autour d'une arète.

_.__2__5__20_|_x
12__.__5__30_|_6x
30__5__.__12_|_6x
20__5__2__.__|_x
structure construite par des dodécaèdres.
autodual.
angle du dièdre = 116.5... d°, impossible d'en mettre 5.

_.__2__5__20_|_5x
_6__.__5__30_|_15x
12__4__.__12_|_12x
_8__4__2__.__|_2x
toujours des dodécaèdres.
dual de l'hypercube précédement cité.
impossible dans mettre 4 non plus ...

Questions à Breukin : Sont-ce la les polyèdres non convexes de Kepler_Poinsot ?

Mes hommages.

[invite35452583]

Questions à Breukin : Sont-ce la les polyèdres non convexes de Kepler_Poinsot ?

Mes hommages.

Je ne suis pas Breukin mais bon.
Breukin parle des 4 polyèdres non convexes de Kepler-Poinsot donc en dimension 3, tes "exotiques" sont en D4.
En D4, il y aurait en plus des 6 convexes, et du "nid d'abeilles cubique" et de 4 pavages réguliers hyperboliques, 10 polychlores réguliers non convexes.
Pour les dimensions supérieure il n'y a plus que 3 polytopes convexes (0 non convexes) ce que tu as obtenu si j'ai bien compris.
Il semble qu'il te manque des polychores "exotiques" pour que cela "colle" (d'ailleurs je n'ai pas compris : as-tu obtenu des polyèdres "exotiques" par la même méthode ?).
Voilà un lien sur les polychores non convexes (j'espère que ton anaglais est meilleur que le mien ) ça devrait t'aider à t'y retrouver :
Schläfli-Hess polychoron - wikipedia

[invite412d5745]

En réponse à Homotopie, et à Tous :

Merci pour ta réponse et surtout pour l'adresse internet, j'y est trouvé une part de mon bonheur, a part que c'est de l'anglais...
Pour précision :
Lorsque je calcul les "PR 4 d", (ce qui n'est qu'une appelation perso ),
je trouve bien les 6 polychores réguliers mais aussi le pavage de l'espace 3d par des cubes ("en nid d'abeilles" si j'ai bien compris ton appelation) ce qui n'est pas à proprement parler un "polyTruc 4d" mais plutot 3d.
Il se trouve que le système de calcul génère en même temps les 6 PR 4d convexes ,le pavage 3d de l'espace et les 4 "objets exotiques".
Objets qui se révèle etre, aprés vérification sur ton site, les 4 pavages hyperbolique 3d.( pour etre complet ce système génère aussi 10 solutions triviales plus deux familles infinies de solutions triviales. elles sont présentées en fin de méssages).
Le point commun de tous ces objets est, pour moi, qu'ils sont tous constitués de polyèdres 3d.
Leur représentation géométrique se fait en 4d pour les polychores convexe, en 3d pour le pavage par des cubes.
Si l'on voulait représenter un pavage hyperbolique sans déformer les distances ni les angles
(ce que l'on peut faire avec les 6 polychores réguliers... en espace 4d euclidien,plat)
je pense qu'aucun espace euclidien, quelque soit le nombre de dimension, ne pourra y parvenir.

Remarque quand a ce que génère ce calcul au niveau "PR 4d" :
Il produit aussi un certain nombre de solutions triviales dont voici quelques exemples : (pour ceux qui aime se faire chauffer les neurones, essayer de vous les représenter)
voici d'abord, pour echauuffement, les deux seules familles de solutions triviales au niveau PR 3d :
_.__2__a_|_a
_2__.__a_|_a
_2__2__._|_2

_.__2__2_|_2
_b__.__2_|_b
_b__2__._|_b

a et b entier quelconque >= 2

PR 4 d :

_.__2__b__b_|_b
_2__.__b__b_|_b
_a__a__.__2_|_a
_a__a__2__._|_a
a et b entier quelconque >= 2

_.__2__2__2_|_2
_a__.__2__a_|_a
_a__2__.__a_|_a
_2__2__2__._|_2
a >= 2

_.__2__3__4_|_4
_3__.__3__6_|_6
_3__2__.__4_|_4
_2__2__2__._|_2
et son dual :
_.__2__2__2_|_2
_4__.__2__3_|_4
_6__3__.__3_|_6
_4__3__2__._|_4
Dans le style des deux derniers, il en existe dix au total (1 et son dual pour chacun des 5 polyèdres réguliers ( ici le tetraèdre) ).
J'ai cité ici toutes les formes triviales obtebues en 4d.

Je pense par ailleur avoir donné tous les éléments nécessaires pour effectuer les calculs.

Si les 4 solutions exotiques sont bien les quatres pavages hyperboliques 3d,
je me demande alors pourquoi le système mis en place ne génère des solutions hyperboliques qu'au niveau "PR 4d" ?

j'attend toujours des suggestions pour lever l'indeterminations de "x". ( cf messages précédents )

Veuillez agréer, messieurs, l'expréssion de mes respectueuses tribulations.