Q est borélien

[invitee75a2d43]

Bonjour,

aujourd´hui je viens de commencer l´étude des tribus boréliennes et j´ai quelques exercices dont je n´ai pas de corrigé. Je crois en avoir réussi le premier, mais je veux en avoir le coeur net. Quant au deuxième, je n´ai pas encore d´idée...

Question 1: Dans l´espace IR, la tribu borélienne est engendrée par tous les intervalles ouverts ou encore tous les intervalles de la forme ]-inf, a]
Montrer qu´un singleton {a} est borélien

Je répond que tout singleton {a} est l´intersection d´une suite décroissante d´intervalles ouverts ]a - 1/n, a+1/n[, il est donc l´intersection dénombrable d´intervalles ouverts, donc élément de la tribu borélienne. C´est correcte?

Quant-à la question suivante, je sèche encore: Montrer que l´ensemble Q des rationnels est borélien. Peut-être quelqu´un peut-il me mettre sur la voie sans me donner tout de suite la solution, faut que je fasse travailler mes méninges
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[invite35452583]

Pour le singleton ta démonstration est juste et courte donc très bien.
Pour Q, il y a "combien" de singletons ?

[Médiat]

Quant-à la question suivante, je sèche encore: Montrer que l´ensemble Q des rationnels est borélien. Peut-être quelqu´un peut-il me mettre sur la voie sans me donner tout de suite la solution, faut que je fasse travailler mes méninges

Une réunion dénombrable, ça va ?

[EDIT]Et paf encore grillé par l'homme aux lacets défaits (mais c'est moi qui me prend les pieds dedans)

[invitee75a2d43]

Ah ben, vu que Q est dénombrable, Q est réunion dénombrable de singletons éléments de ma tribu, donc aussi élément de la tribu borélienne... Euh, c´est tout? Non, s´il vous plait, me dites pas que c´est aussi simple!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

euh... oui qu'est ce que tu voudrait de plus ?