définitions en proba

[christophe_de_Berlin]

Bonjour, je patauge dans les définitions et concepts en proba, veuillez m´excuser à l´avance si ma question n´est pas très claire car je n´arrive pas à cerner le problème que j´ai.

Pourtant j´ai bien apris ma leçon, je connais les définitions d´une probabilité, d´une tribu, d´une variable aléatoire et de sa loi. Mais quand il s´agit de l´appliquer, je nage. Je donne un exemple simple:

Une urne contient 4 boules nummérotées de 1 à 4. On tire 2 boules successivement et sans remise. X est la v.a. indiquant le chiffre de la première boule, Y celui de la deuxième.

Concrètement ça me pose pas de problème, l´ensemble des évennements Oméga possède 12 éléments, mais par exemple dans ce genre d´exo j´arrive pas à déterminer ce qu´on appelle la tribu de Oméga. Je lis que c´est l´ensemble des évennements, mais en fait c´est Oméga l´ensemble des évennements non? Ce n´est pas les seul exemple où je n´arrive pas à distinguer un ensemble de sa tribu.

Je vous avez prévenus que ma question n´est pas claire....

Merci d´avance


Christophe
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[invite35452583]

Oméga peut être pris ici pour l'ensemble des 12 évènements élémentaires (1er tirage, 2ème tirage).
Il pourrait très bien être pris pour autre chose (distinguer la position géométrique du numéro à la sortie par exemple) mais cela ne ferait qu'alourdir sans rien apporter de plus étant donné les définitions de X et de Y.
Ici, chaque singleton contenant un évènement élémentaire {(1er tirage, 2ème tirage)}* fait parti de la tribu. (* : à remarquer la présence des parenthèses cette fois). Comme Omega est fini toutes les parties sont union au plus dénombrable d'évènements élémentaires donc toute partie de Omega est dans la tribu. Celle-ci est donc l'ensemble des parties de Omega et donc de cardinal 2¹². Par exemple (X=1) est une sous-partie de Omega constitué de 4 évènements élémentaires.
Je crois que dans ton raisonnement tu n'es pas assez rigoureux dans la distinction entre "appartient à" et "est inclus dans".

[christophe_de_Berlin]

merci de ta réponse, mais j´ai alors une question qui s´enchaîne: puisque chaque singleton est élément de la tribu B(Oméga), alors son complémentaire aussi, c´est à dire la partie constituée des 11 autres évènements élémentaires. Et ça correspond à quelle situation concrète? Puisqu´on ne tire pas 11 fois les boules mais 2 fois. Confusion confusion....

[christophe_de_Berlin]

oups... pardon, je crois déjà avoir la réponse à ma dernière question... évidement ce complémentaire correspond alors à la situation où ce singleton n´est pas tiré, ça n´a rien à voir avec 11 tirages.

Ce qui me chagrine tout de même c´est qu´avec ce genre de raisonnement, il me semble que toute construction d´une tribu donne alors l´ensemble complet des parties de Oméga, mais alors à quoi bon une tribu?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

oups... pardon, je crois déjà avoir la réponse à ma dernière question... évidement ce complémentaire correspond alors à la situation où ce singleton n´est pas tiré, ça n´a rien à voir avec 11 tirages.

Ce qui me chagrine tout de même c´est qu´avec ce genre de raisonnement, il me semble que toute construction d´une tribu donne alors l´ensemble complet des parties de Oméga, mais alors à quoi bon une tribu?

Ce que tu dis est vrai si le ""nombre"" d'évènements élémentaires est fini ou dénombrable. L'intérêt des tribus pour ce genre de problèmes est assez limité (d'ailleurs de telles probabilités sont manipulées dès la Tle et les 1ères années d'études supérieures sans introduire le concept de tribu).
Par contre si tu considères un problème où une variable aléatoire peut prendre une "quantité" non dénombrable de valeurs (ex: X est à valeurs dans R) ou les évènements élémentaires eux-mêmes sont en "quantité" non dénombrable (par exemple une suite dénombrable de tirages d'une pièce) alors le recours aux tribus se révèlent indispensables. En effet, on ne peut être assuré de pouvoir attribuer une probabilité à toutes les parties de Omega, en général on est même sûr qu'ils seraient contradictoires d'essayer. Par contre, en se limitant à une tribu* on peut calculer de manière cohérente.
* du moins à certaines, par exemple :
1) celle engendrée par les boréliens sur R^n=Omega
2) celle engendrée par les sous-ensemble du type {(an) n dans N ; a1=f1, ..., an=fn} "les premiers tirages sont fixés" Omega=F^N (suites de "tirages" successifs où chaque tirage ne peut prendre qu'un nombre fini de "valeurs", F est l'ensemble de celle-ci
...

[christophe_de_Berlin]

Merci de ta réponse, je crois avoir compris, je vais y méditer. Je suis moi-même en année de licence, donc comme tu dis dans les premières années de supérieur, donc effectivement je n´ai été confronté jusque là qu´à des cas de Omégas finis ou dénombrables. J´attend la suite.

merci encore

[invite986312212]

il y un truc à savoir aussi en probas, c'est qu'on n'a presque jamais besoin d'expliciter les tribus mises en jeu. Tu verras bientôt les processus stochastiques, par exemple à temps discret (ce n'est rien d'autre qu'une suite de v.a., disons X_i, i=0,1,..). Apparaissent souvent les tribus engendrées par un sous-ensemble des X_i, par exemple, pour chaque "temps" n, la tribu engendrée par les x_i, i<n (qui représente l'information qu'on a sur le "passé"). Et bien on n'a pas besoin de se demander à quoi ressemble cette tribu, on n'explicite d'ailleurs pas non plus l'espace Omega.