[Topologie] Distance p-adique

[Romain-des-Bois]

Bonjour !

un petit problème en topologie se pose à moi, et je m'en remets à vous, ne trouvant vraiment rien...

Je vous pose l'exercice brièvement :



application vérifiant :
d(x;y) = 0 <=> x=y
d(x;y) = d(y;x)
d(x;z) max ( d(x;y) ; d(y;z) )


D'abord on me demande de vérifier que (X;d) est un espace métrique (ce n'est pas difficile, le dernier axiome de d induit l'inégalité triangulaire)

Ensuite, on me demande de montrer qu'avec cette distance, deux boules ouvertes sont soit disjointes soit confondues.

Ma première idée :
deux boules de même centre sont confondues
deux boules de centres différents sont disjointes

j'ai essayé de prouver le deuxième par l'absurde, en utilisant le troisième axiome de d (je cherchais le bon y à placer entre x et z , mais je ne l'ai pas trouvé...)
pas mieux pour le premier...

il est évident que tout découle du troisième axiome puisque les deux autres sont les mêmes que pour une distance "classique".

Ma deuxième idée (qui découle de la première)
une boule ouverte est en fait un singleton (je pense que je m'approche de la vêrité )
ie : BO(a;r) = {a}

malheureusement, là aussi je peine à le prouver (et si c'est faux, je risque pas d'y arriver). Je pense que je suis gêné par la représentation géométrique de cette distance (dans un triangle rectangle, l'hypothénuse serait plus courte que le plus grand des deux côtés ).

Bref, j'aimerais bien que vous me donniez juste une piste (vague), ou une confirmation de mes idées (je ne veux pas que vous fassiez l'exo à ma place ou que vous donniez l'essentiel de la preuve )


Merci

Romain
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[Romain-des-Bois]

Je précise un peu (j'ai oublié de le faire dans l'autre message !)

Si je prend b dans BO(a;r), en supposant qu'il existe un point "milieu" entre a et b on a d(a;b) d(a;b)/2 ce qui m'entrainera facilement que a = b
ce qui prouve que BO(a;r) = {a} (et c'est fini !)


mais comme ici, on est sur un ensemble X totalement abstrait, peut-on parler de milieu ? (à mon avis : non car qui dit que le "milieu" naturel est dans X (dans le cas où X est une partie de IR par exemple)
l'application de l'exo se fait sur , alors dans ce cas, on pourrait parler de milieu ( (a+b)/2 ) mais c'est dans le cas où X est un ensemble totalement abstrait que je suis bloqué


Romain

[Romain-des-Bois]

Je précise un peu (j'ai oublié de le faire dans l'autre message !)

Si je prend b dans BO(a;r), en supposant qu'il existe un point "milieu" entre a et b on a d(a;b) d(a;b)/2

Euh... j'ai oublié un détail

pour moi le milieu de a et b serait le point c = (a+b)/2 qui vérifierait d(a;c) = d(c;b) et d(b;c) d(a;b)
mais si c'est vrai avec la distance euclidienne, je ne crois pas que ça le soit avec cette distance




Romain

[Médiat]

Ce que l'on te demande d'étudier, c'est une distance ultramétrique (un bidule qui a des propriétés rock'n roll (tous les points d'une boule sont centre de cette boule , ce ne sont pas des singletons pour autant)).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

salut,

il faut peut-être pas trop se fier à l'intuition géométrique. Avec l'inégalité ultramétrique, tous les triangles sont isocèles.

un exemple de distance utramétrique sur un ensemble discret, c'est les phylogénies comme en dessinent les généticiens. La distance entre génotypes est mesurée le long des branches d'un arbre et vérifie donc l'inégalité ultramétrique.

[invite35452583]

Ensuite, on me demande de montrer qu'avec cette distance, deux boules ouvertes sont soit disjointes soit confondues.

Ca va être dur... parce que c'est faux.

Ma première idée :
deux boules de même centre sont confondues
deux boules de centres différents sont disjointes

Ca va être dur aussi... parce que c'est tout aussi faux.
Le 1er point signifierait que tous les points sont à même distance (sinon il est facile de trouver un contre-exemple).
Le second signifierait qu'une boule ne contient que son centre.

Ce qui est vrai est ceci :
soient deux boules ouvertes d'un espce ultramétrique, on a :
soit l'une est incluse dans l'autre
soit les deux sont disjointes.

Ceci se prouve en montrant l'assertion de Médiat : tout point d'une boule en est son "centre". Autrement dit si y est dans B(x,r) alors B(y,r)=B(x,r).
Ensuite, il suffit de se metre dans le cas où les deux boules ont un point commun pour montrer que dans ce cas l'ubne est incluse dans l'autre.

[Romain-des-Bois]

Merci à tous !

effectivement, je savais qu'il s'agissait d'un espace ultra-métrique ! Ca m'a l'air cool !

en continuant à chercher, j'ai réussi à montrer ça :

Soit x dans BO(a;r)
Soit y dans BO(a;r)
alors d(x,y) Max ( d(x;a) ; d(a;y)) < r donc y est dans BO(x;r) alors BO(a;r) est incluse dans BO(x;r)

de même, Soit y dans BO(x;r)
alors d(a;y) Max (d(a;x) ; d(x;y)) < r donc y est dans BO(a;r)

donc BO(a;r) = BO(x;r)

(tous les points d'une boule ouverte sont centres )

J'ai bien compris que mon idée de singleton était fausse, mais je suis formel : l'exercice est :
montrer que dans (X;d), deux boules ouvertes sont soit disjointes soit confondues.



Romain

[Romain-des-Bois]

Je reviens : peut-être qu'il manque une précision dans l'exo : montrer que deux boules ouvertes de même rayon sont soit disjointes soit confondues

Là on a bien : si x est dans BO(a;r), BO(x;r) = BO(a;r) et si x n'est pas dans BO(a,r) alors leur intersection est vide (je n'ai pas encore essayé de le prouver...)

Romain

[invite35452583]

Je reviens : peut-être qu'il manque une précision dans l'exo : montrer que deux boules ouvertes de même rayon sont soit disjointes soit confondues

Là on a bien : si x est dans BO(a;r), BO(x;r) = BO(a;r) et si x n'est pas dans BO(a,r) alors leur intersection est vide (je n'ai pas encore essayé de le prouver...)

Romain

Pour même rayon, alors oui.
Tu peux reprendre en ne séparant pas les cas avec "le centre de l'une est dans l'autre ou non " mais avec "il existe un point dans l'intersection des deux ou non" puis ""centrer"" dans le 1er cas.