Nombre p-adique

[invite533b878d]

Bonjour,

Je suivais la discussion sur les 1=0,99999999999..., quand quelqu'un s'est mis à parler de nombre p-adiques.

Je n'ai absolument rien compris à ce que cela pouvait être malgré mes recherches sur le net.

Pourriez-vous m'expliquer ?

Cordialement,

P.S. : Je suis entre Terminale S et Licence lol .
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[Theyggdrazil]

Tu as un niveau L1 uniquement ? Si oui, ça risque d'être difficile à appréhender pour toi, ça concerne la théorie des corps valués... Malgré tout, voilà un aperçu bref :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

Si tu souhaites en savoir vraiment plus, je t'invite à lire le "Cours d'arithmétique" de Jean-Pierre Serre, mais c'est vraiment assez difficile comme sujet, du moins à comprendre au premier abord.

[Gwyddon]

Salut,

Je te suggère d'acquérir les quelques connaissances suivantes avant de t'attaquer aux p-adiques :

_ Topologie et espaces métriques (voire normé dans un premier temps, c'est peut-être plus simple)

_ Notion de classe d'équivalence et d'ensemble quotient

_ Notion de valuation p-adique

Perso les ensembles p-adiques ne sont réellement abordable qu'en L3 ou en M1 je trouve..

[Theyggdrazil]

Oui, personnellement je les ai vu en L3, mais c'était dans le cadre du magistère, et on trouvait ça déjà plutôt difficile... y compris les majors du magistère

M'enfin, au final je trouve que les applications en soit sont plutôt faciles comparées à la théorie elle-même.

[A voir en vidéo sur Futura]

[G13]

En gros les nombres entiers p-adiques avec p premier sont de nombres en base p qui ont une infinite de chiffres c'est-à-dire une suite a de nombres entiers plus petits que p: .
Attention ici 0001 est en quelque sorte plus grand que 01. Ce sont les termes de rang élevé qui ont le plus de poids. Un peu comme dans le développement d'un nombre entier en base p

Pour additionner deux nombres p-adiques a et b, tu additionnes a_0 et b_0 modulo p. ce qui te donnes c_0. Si il y a une retenue, tu la conserves et tu additionnes a_1 et b_1 plus la retenue (tout ca modulo p), ce qui te donnes c_1. Si il y a une retenue, tu en tiens compte au rang 2, et tu continues ainsi jusqu'a l'infini. La suite est l'addition de a et b.
Pour la multiplication, on procede de maniere un peu similaire.
Une propriete est que tout nombre p-adique ne commencant pas par 0, a un inverse.