résolution de e(-x) cos (wx) = c

[invite907a5a64]

Bonjour,

Je cherche à résoudre (sans approche numérique) :

e(-x) cos (wx) = c,

ou w est connu, c est une constante.

Merci.


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[sebi le ouf]

salut, éric
le problème est de déterminer quel inconnue ? par intuition je dirais que tu connais "c" mais si il y a 2 inconnues et que l'équation n'est pas du second degré je pense ne pas pouvoir t'aider avec mon niveau terminale...
Sinon essaye avec une intégration par parties des deux cotés de l'équation et si ca marche c cool !

[invitec053041c]

salut, éric
le problème est de déterminer quel inconnue ?

L'inconnue est x.
Je réfléchis à une méthode de résolution, mais je crains que cela ne soit possible avec les fonctions usuelles que l'on connaît .En passant par les complexes, cela n'arrange pas vraiment les choses selon moi.D'ailleurs,je viens de le faire en maple, et il me sort des mots grossiers .

Sinon essaye avec une intégration par parties des deux cotés de l'équation

Ici, nous avons une équation à résoudre avec pour inconnue un réel. Les techniques de limite à l'infini, d'intégration, de dérivation (etc...) sont utiles pour déterminer des constantes lors de résolution d'équa diff, mais là je ne comprends pas trop ?
Cordialement.

[ericcc]

Bonjour,

Je cherche à résoudre (sans approche numérique) :

e(-x) cos (wx) = c,

ou w est connu, c est une constante.

Merci.

Si tu traces la courbe, tu verras que ton équation n'admet pas de solution unique. Par exemple si c=0, tu vois bien qu'il y a une infinité de solutions. Tu dois donc restreindre ton intervalle pour trouver une solution unique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite907a5a64]

Merci pour vos réponses.

Je vais apporter des précisions:
- L'inconnue est bien évidemment x .
- Sont connus : w et c (la constante),
- x>=0
- c<=1. (ca limite le domaine et le nombre de solutions possibles).

Une idée?

[ericcc]

Meme pour c=0 et x>0 il y a une infinité de solutions.

[invite3478a1d3]

Si et , alors c'est vrai qu'il n'y a plus qu'un nombre fini de solutions (grâce à la décroissance de l'exponentielle). En revanche, sauf pour certains cas très particuliers, je crains, vu la tête de l'équation, que les solutions ne soient pas exprimables 'simplement', i.e. de façon sinon symbolique du moins analytique.... Mais je peux me tromper!

[invite907a5a64]

Si et , alors c'est vrai qu'il n'y a plus qu'un nombre fini de solutions (grâce à la décroissance de l'exponentielle). En revanche, sauf pour certains cas très particuliers, je crains, vu la tête de l'équation, que les solutions ne soient pas exprimables 'simplement', i.e. de façon sinon symbolique du moins analytique.... Mais je peux me tromper!

Merci Kacsou.

Oui il n'y a qu'un nombre fini de solution. MAis, mon problème est de trouver une façon simple d'exprimer les solutions, de façon analytique si possible !!!

[ericcc]

Tu n'arriveras pas, je pense, à trouver d'expression plus compacte, et analytique.

[invite907a5a64]

C'est le but de ma demande sur ce forum...

Quelqu'un est il capable de proposer une forme analytique pour x ...

[invitec053041c]

C'est le but de ma demande sur ce forum...

Quelqu'un est il capable de proposer une forme analytique pour x ...

Je crains que non. Maple ne me donne que des solutions numériques...

[invite7af75ce8]

[QUOTE=eric592006;1170670]Bonjour,

Je cherche à résoudre (sans approche numérique) :

e(-x) cos (wx) = c,
cos(wx)=ce(x)
0 = e(iwx)+e(-iwx)-2ce(x)

Avec un ln est ce que cela ne peut pas aider?

[indian58]

2*c = e^-x(1-iw) + e^{-x(1+ iw)}.
Or si on pose y = e^-x(1-iw), on a 2*c = y + y* = 2*Re(y). D'où Re(y) = c. Donc y = c+ it avec t .

[Médiat]

2*c = e^-x(1-iw) + e^{-x(1+ iw)}.
Or si on pose y = e^-x(1-iw), on a 2*c = y + y* = 2*Re(y). D'où Re(y) = c. Donc y = c+ it avec t .

J'avoue ne pas voir où tu veux en venir, tu viens d'écrire qu'un réel est égal à la partie réelle d'un complexe ayant ce réel pour partie réelle, ce n'est pas faux, mais je ne vois pas en quoi cela fait avancer la question, ou alors j'ai mal compris...

[ericcc]

Bref cette équation est impossible à résoudre sous forme analytique. inutile de chercher.

[invite907a5a64]

En utilisant la transformée de Laplace ?

[invite6f9f6925]

Salut,

On peut pt'etre tenter un truc...
Si x vérifie :

alors il existe d tel que x vérifie :

(d dépend évidement de c)
Du coup on a :


En gros, le paramètre c est encapsulé dans un complexe qui devient le nouveau paramètre.

Bref, on a maintenant :



d'où :


Enfin, x etant réel, la partie imaginaire doit être nulle, soit :

d'où :




En conclusion, l'équation de départ n'a de solution que pour certaines valeurs de w et c, reliées par les relations :

[Médiat]

En conclusion, l'équation de départ n'a de solution que pour certaines valeurs de w et c, reliées par les relations :

On peut simplifier un peu et dire que l'équation de départ n'a de solution que pour certaines valeurs de w et c telles qu'il existe un r pour lequel :
ou plus simplement encore s'il existe un u (le changement de variable est clair) tel que
.
Bref, je ne crois pas que nous ayons vraiment avancé .

Cordialement

[invite6f9f6925]

Certes, mais restons optimiste. Peut être que tout ça aura permis de cerner un peu mieux la problèmatique...

[ericcc]

Essayons déjà de cerner le problème, on verra ensuite ce que l'on peut faire de la problématique....

On voit que le nombre de solution varie et devient infini quand c tend vers zéro. Peut on trouver une formule qui donne le nombre de solutions en fonction de c et w, même si on ne sait pas les exprimer analytiquement ?

[invite6f9f6925]

(C'est gentil de proposer une sortie honorable à ce thread mal embarqué. )

Or donc, oui on doit pouvoir étudier la fonction f(x)=e^-xcos(wx), trouver ses maximums locaux et en déduire le nombre de solution en fonction de c et w.

on va dire que :
0<c<=1
x>=0
w>0

Il me semble que les maximums locaux sont donnés par : , k entier positif.

Pour c=1, il y a une solution (x=0)
Pour c<f(x_k), il y a 1+2k solutions
Pour c=f(x_k), il y a 1 + 2(k-1) + 1 = 2k solutions

[acx01b]

salut

moi j'ai fait ça:

exp(-x)cos(wx) - c = 0
<=> exp(-x) (cos(wx) - c.exp(x)) = 0
<=> cos(wx) - c.exp(x) = 0 (puisque exp(-x) != 0)

ensuite
si w = 0 et c > 0
on a c.exp(x) = 1 et donc x = -ln c

si c = 0 et w != 0
on a une infinité de solution pour x = (kPi + Pi/2) / w

si w = 0 et c <= 0
on a 0 solution


sinon (si c != 0 et w != 0)
on peut avoir des solutions sur l'intervalle où | c.exp(x) | <= 1
donc sur ]-inf ; -ln|c| ]
on en aura une infinité car cos(wx) - c.exp(x) est continue
et pour x dans cet intervalle
si x = 2kPi/w, cos(wx) = 1 donc cos(wx) - c.exp(x) > 0
et si x = (2kPi+Pi)/w, cos(wx) = -1 donc cos(wx) - c.exp(x) < 0
on peut aussi avoir des solutions pour x > -ln|c| mais un nombre fini

[ericcc]

(C'est gentil de proposer une sortie honorable à ce thread mal embarqué. )

Or donc, oui on doit pouvoir étudier la fonction f(x)=e^-xcos(wx), trouver ses maximums locaux et en déduire le nombre de solution en fonction de c et w.

on va dire que :
0<c<=1
x>=0
w>0

Il me semble que les maximums locaux sont donnés par : , k entier positif.

Pour c=1, il y a une solution (x=0)
Pour c<f(x_k), il y a 1+2k solutions
Pour c=f(x_k), il y a 1 + 2(k-1) + 1 = 2k solutions

Pour moi les maxima locaus sont donnés par :



Ensuite on peut simplifier f(x_k) avec la jolie formule

,

[invite6f9f6925]

Pour moi les maxima locaus sont donnés par :

Tout à fait, j'ai oublié un signe moins.

Ensuite on peut simplifier f(x_k) avec la jolie formule

,

Ha oui, joli, mais l'e^-x(k) reste rebutante...

[ericcc]

Remarque aussi que pour c= f(x_k) tu as une solution