Exercice droite d'Euler

[invitede6f3928]

Bonjour,
voila je suis en MPSI et pendant les vacances bien entendu nous avons un petit DM à faire. Il y a un exercice sur lequel je bloque et j'aimerais que vous m'aidiez. Il n'est pas intitulé ainsi mais il a tout l'air d'un exercice sur la droite d'Euler.

Donc on nous dit soit un triangle ABC, A, B et C non alignés.
On nous demande d'abord de démontrer que pour un point M du plan :
MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0

J'ai réussi en introduisant B dans le premier membre etc...
En suite on nous demande de déduire que les 3 hauteurs du triangle ABC sont concourantes en un point H appellé orthocentre du triangle.
On y arrive avec la relation précédente et en posant M = H.
Il y a ensuite deux question que je n'arrive pas.

La première nous demande de justifier l'éxistence d'un cercle unique passant par les points A, B et C. Cela me parait évident mais je ne vois pas comment le justifier ?
Et la deuxieme surement un peu plus compliqué mais aussi très classique nous dit que Ω est le centre du cercle défini à la question précédente et K le point défini par la relation vectorielle :
ΩK = ΩA + ΩB + ΩC
Etablir que K est l'orthocentre du triangle A, B et C.

Dans les exos que l'on faisait en première ou terminale, on admettait cette relation mais là je ne vois pas comment démarrer pour démontrer cette relation.
Est ce que vous pouver m'aider ?
Merci d'avance
Jeremouse1
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[invitede6f3928]

S'il vous plait je n'arrive pas du tout cette question et la suite du problème dépend de cette question.
Merci d'avance de votre aide.
Jeremouse1

[invite35452583]

Je noterai Ω : O. (Par simplicité d'écriture).
O est centre de l'éventuel cercle donc est à équidistance de chaque sommet, cette simple idée permet de montrer l'existence et l'unicité du cercle.

Pour la 2), montrer que K est l'orthocentre revient à montrer que AK est orthogonal à BC, BK à AC, et CK à AB.
Or, de la relation OK=OA+OB+OC on peut en déduire une pour AK, une pour BK, une pour CK qui permettent de montrer ces orthogonalités.

[invitede6f3928]

Merci beaucoup de té réponse, en effet hier soir j'ai trouvé cela, j'ai donc trouvé AK = 2OA', A' le mileu de BC et BK = 2OB', ensuite on peut en conclure etc...
En fait j'aurais une autre question, pour ne pas réouvrir un nouveau sujet je vais la poser ici.

Elle concerne aussi a peu près la géométrie.
On nous demande de trouver le lieu des points M tels que MI² = MAxMB , I étant le mileu de [AB].
J'ai essayé en introduisant A dans MI mais ça n'a rien donné avec le dévellopement.
Est ce que vous auriez un conseil à me donner pour démarrer cet exercice ?
Merci d'avance
Jeremouse1

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

...
On nous demande de trouver le lieu des points M tels que MI² = MAxMB , I étant le mileu de [AB]...

Je te propose d'introduire I dans MA et MB (avec Chasles), de développer puis de simplifier.
Le fait que I soit le milieu de [AB] simplifie encore le résultat.

Duke.

EDIT : OUPS... Je viens de remarquer que je n'avais plus de M dans mon résultat final... Erreur ?...

[invitede6f3928]

Bonsoir,
merci de ta réponse et désolé d'avoir répondu si tard. J'ai essayé ce que tu m'a dis de faire, j'ai dévelloper ensuite et j'ai dit que IA = IB donc j'ai remplacer les IB par des IA mais au final ça me donne ,
MI = -1
Normalement ça fait un cercle mais c'est bizarre de trouver un -1 comme rayon du cercle ?
Merci d'avance

[invitede6f3928]

Voila ce que je fais, dite moi si c'est bon,
MI²=MAxMB
<=> MI² = (MI + IA)x(MI + IB)
<=> MI² = MI² + MIxIB + IAxMI + IAxIB avec IA=IB
<=> 2xIAxMI + IA² = 0
<=> MI = -0.5IA

Il y a toujours ce - qui me gene.

Merci d'avance
Jeremouse1