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exo de sup!



  1. #1
    mimi99

    exo de sup!


    ------

    c'est un exercice sur la droite de Simson
    Soient ABC un triangle non aplati du plan, M un point du plan et P, Q et R ses projetés othogonaux sur (BC), (AC) et (AB) respectivement. Montrer que P, Q et R sont alignés si et seulement si M est sur le cercle circonscrit au triangle en choisissant un repère orthonomré du plan.
    Alors moi j'aurais vu une autre méthode pour le démontrer mais en utilisant le repère orthonormé, je peine à démontrer! alors si qqun peut m'aider, un gd merci!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    mimi99

    Re : exo de sup!

    si vous me disiez ce que vous en pensez, j'en serais ravie. Merci à l'avance.

  4. #3
    shokin

    Re : exo de sup!

    Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection des médiatrices de ce même triangle.

    Tu connais les propriétés des médiatrices...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  5. #4
    Gilberto

    Re : exo de sup!

    Avec les cercles, droites, quatre points dans le plan complexe, il n'y a pas une histoire avec le birapport aussi ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    mimi99

    Re : exo de sup!

    oui je connais les propriétés des médiatrices mais je n'arrive pas à tout démontrer avec le repère orthonormé....

  8. #6
    shokin

    Re : exo de sup!

    Enonce ces propriétés sous formes de vecteurs ! et si tu manies les vecteurs comme ton clavier, no problem !

    Soit D le centre du cercle circonscrit au triangle non aplati ABC.

    IOCI (norme du vecteur OC)=IOAI=IOBI

    Soient A', B' et C' respectivement les projections de M sur (BC), (AC) et (AB).

    OA'=OM+((BM*BC)/(IBCI^2))*BC

    De manière similaire tu exprimes OB' et OC'.

    Ou si cette formule ne te plaît pas, tu trouves l'équation de la droite qui passe par M et qui est orthogonale à BC, puis tu fais l'intersection des deux droites.

    Tu exprimes alors A'B', A'C' et B'C', et regarde à quelles conditions ils sont colinéaires. (qui devraient coincider avec celles pour que M soit sur le cercle circonscrit)



    Ou tu démontres que :

    Soient A, B, C 3 points distincts situés sur un cercle de rayon non nul.
    Alors tout point situé sur ce même cercle voit ses projections orthogonales respectivement sur les droites (AB), (AC) et (BC) alignées.

    Tu peux tirer parti du fait que tous les triangles DA1A2, avec A1 et A2 situées le cercle sont isocèles (donc 2 angles égaux et deux côtés égaux).

    Tu peux tirer parti du fait que l'angle de sommet A' et de côtés [A'M) et [A'B) est droit, ainsi que du fait que deux angles opposés d'un quadrilatères inscrit dans un cercle sont supplémentaires (en considérant le quadrilatère ABCM). Puis faire bouger M.

    Et si tu fais bouger par exemple C !

    Tu peux aussi tirer parti du fait que tous les triangles inscrits dans un même cercle, comme ils ont même cercle circonscrit, verront toutes leurs médiatrices concourantes.

    Mais le top, je crois que c'est :

    Soit un triangle non aplati ABC, soit alors D le point d'intersection des médiatrices de ABC.

    Alors les triangles ABD, ACD et BCD ont respectivement pour point d'intersection des médiatrices C, B et A.

    Ou par l'absurde : si l'angle A'B'C' n'est pas nul, alors..., alors... M n'est pas à distance IDAI de D, avec D le centre du cercle.

    N'oublie pas l'équation du cercle : (x-x1)^2+(y-y1)^2=r^2

    alors l'ensemble des vecteurs OA (ou OM) peut s'exprimer ainsi :

    (D1-x)^2+(D2-y)^2=IDAI^2=r^2

    y=+-RACINE(r^2-(D1-x)^2)

    OA=(x;+-RACINE(r^2-(D1-x)^2)

    ... tout plein de pistes ! (ya pas qu'une manière de démontrer, is there ?)

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  9. Publicité
  10. #7
    mimi99

    Re : exo de sup!

    merci beaucoup Shokin pour ton aide!!!!

  11. #8
    shokin

    Re : exo de sup!

    De rien !

    j'imagine qu'à chaque triangle correspond une droite de Simpson.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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