Calcul fiabilité (probleme)

[invite44981d02]

Salut, pouvez vous resoudre cet enoncé !
:: un parc doit comporter N machines (machine irréparable)
une machine neuve a une proba de 1/6 de tomber en panne durant l'année courante;
13/20 pour une machine d'une année de vie
6/7 pour une machine de deux année de vie
1 pour une machine de trois ans de vie (i.e tombe certainement en panne durant l'année courante).

_Calculer * Espérence de vie d'une machine
* Age moyen des machines

_Donner relation de récurrence donnant le nombre de machines à acheter au bout de l'année courante en fonction du nombre des machines neuves, d'un an d'age, de deux ans d'age et de trois ans d'age .

_Deduire l'exression de F(k) le nombre de machines neuves à acheter à l'année k.

_En regime permanent , quel est le nombre de machine à acheter chaque année (en fonction de N).


merci
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[invite44981d02]

alors ya pas de propositions ??,!!!

[prgasp77]

Bonjour.
Nous ne sommes pas là pour faire des exercices (on a les nôtres ^^), mais pour aider. Concernant le premier point, qu'est-ce qui te gène dans le calcul de l'espérance, pourquoi ne peux-tu pas appliquer sa définition ? La connais-tu ?

[invite6b1e2c2e]

alors ya pas de propositions ??,!!!

Essaye google.

__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite44981d02]

J'ai supposé que X est une v.a.r discréte, X est l'année ou une machine tombe en panne donc Omega(X)={1,2,3,4}.
A partir des valeur données ( 1/6 . 13/20 . 6/7 . 1 ) j'ai detérminé la loi de probabilité ( f(x)=P(X=x) ) comme suit: si on prend 100 machines neuves au depart:
100*1/6 = 16,66 tombent en panne la premiere année -> reste 100-16,66=85,33
85,33*13/20 = 54,16 " " " " deuxieme année -> " 85,33-54,16=29,16
29,16*6/7 = 24,99 " " " " troisième année-> " 29,16-24,99=4,16
4,16*1 = 4,16 " " " " quatrieme année

donc
f(1)= 0,166 = P(X=1)
f(2)=54,16
f(3)=24,16
f(4)=4,16
L'espérance mathématique est E(X)= Somme xi P(X=xi) . E = 2,16
La variance V = 0,555 l'écart type Sigma = 0,745


alors je prend l'espérance de vie 2,16 ans ?
la moyenne d'âge des machies est 0,55 ou 0,74 ??

merci

[isozv]

Bonsoir

Un conseil: reprend toutes tes notions théoriques de statistiques depuis le base avant de faire cet exercice et vérifie les unités de tes calculs (dimensions...).

Visiblement tu n'as pas compris la différence entre une moyenne (espérance), un écart-type ou une variance et tu ne peux pas prendre une population de 100 machines juste pour le fun...

Imagine que tu es engagé dans une entreprise et que ton directeur te demande ce calcul et qu'il n'y a qu'un seul serveur informatique... il attend justification du salaire qu'il te paie et donc pas de calculs bricolés!

[invite44981d02]

bonsoir isozv,
Le probleme n'est si je sais les fomule de stat, mais quel formule doit je utiliser.
En tout cas merci pour l'aide !

[isozv]

Oui mais on ne fait pas chimie là... donc il y a pas de formules à appliquer mais un raisonnement à faire. Quand tu seras payer en tant qu'ingénieur on te demandera pas d'appliquer une formule mais de la trouver!

Ensuite, tu confonds moyenne, écart-type et variance et tu ne vérifies par que ton calcule ait des unités qui sont des années.

Je t'aide un peu:

Penses-tu honnêtement que ton espérance: E = 2,16

ait comme unités des [années]? Si tu y réfléchis tu trouveras alors quel raisonnement appliquer j'espère.

[invite44981d02]

l'unité de l'espérance est [année] biensur, donc c l'espérance de vie.
la variance est [année]² alors que l'écart type est [année], donc la moyenne d"'age est l'écart type !! je pense.

[isozv]

l'unité de l'espérance est [année] biensur, donc c l'espérance de vie.
la variance est [année]² alors que l'écart type est [année], donc la moyenne d"'age est l'écart type !! je pense.

bon c'est un peu mieux mais c'est pas vraiment ça non plus...

Pour t'aider je te donne une indication:

Pour calculer ta moyenne à un moment tu fais le calcul suivant:

100*1/6 = 16,66

Dis moi où est-ce que tu vois des [années] là-dedans???? Et dans les autres...

[invite44981d02]

100*1/6=16,66 i.e sur 100 machines au depart 16,66 tombe en panne pour dire que f(1)=P(X=1)=0,166 la probabilité qu'une machine tombe en panne durant la première année, probabilité est sans unité, l'espérance = Somme xi*P(xi)
xi appartient à {1;2;3;4} unité [année], et somme d'[année] est [année].
pour la variance c'est [année]² car il ya le terme (xi-E)², donc l'écart type s'est [année].

[isozv]

Ok visiblement tu est conscient de cela.

Donc tu sais que :

1) E(X)=xi*Pi dois être en années.

2) Que {1/6 . 13/20 . 6/7 . 1} sont des probabilités (tomber en panne) à l'année xi...

3) Que {1,2,3,4} sont les années

donc... quelle est l'espérance? (et oublie ton histoire avec les 100 machines... qui est complétement inutile)

[invite44981d02]

franchement : je voi pas sa peut se resoudre autrement. sinon je n'aurais pas envoyer ce topic!!
si j'utilse les probas de l'enoncé sa donne 1,9 pire!
j'en ais vraiment besoin au plutot, donc quiquonque a une idée merci de m'eclairir

[isozv]

Bon allons-y:

P1(X1=0) est la probabilité de tomber en panne lors de la première année

(1-P1)*P2(X2=1) est la probabilité de tomber en panne lors de la deuxième année

(1-P1)*(1-P2)*P3(X3=3) est la probabilité de tomber en panne lors de la troisième année.

(1-P1)*(1-P2)*(1-P3)*P4(X3>3) est la probabilité de tomber en panne au delà.

Cela donne:

E(X)=1*1/6+2*(1-1/6)*13/20+3*(1-1/6)*(1-13/20)*6/7+4*(1-1/6)*(1-13/20)*(1-6/7)

=2.166666...

[invite44981d02]

J'ai supposé que X est une v.a.r discréte, X est l'année ou une machine tombe en panne donc Omega(X)={1,2,3,4}.
A partir des valeur données ( 1/6 . 13/20 . 6/7 . 1 ) j'ai detérminé la loi de probabilité ( f(x)=P(X=x) ) comme suit: si on prend 100 machines neuves au depart:
100*1/6 = 16,66 tombent en panne la premiere année -> reste 100-16,66=85,33
85,33*13/20 = 54,16 " " " " deuxieme année -> " 85,33-54,16=29,16
29,16*6/7 = 24,99 " " " " troisième année-> " 29,16-24,99=4,16
4,16*1 = 4,16 " " " " quatrieme année

donc
f(1)= 0,166 = P(X=1)
f(2)=54,16
f(3)=24,16
f(4)=4,16
L'espérance mathématique est E(X)= Somme xi P(X=xi) . E = 2,16
La variance V = 0,555 l'écart type Sigma = 0,745


alors je prend l'espérance de vie 2,16 ans ?
la moyenne d'âge des machies est 0,55 ou 0,74 ??

merci

Alors isozv, ce n'est pas ce que j'ai mentionné en sus ? nous y voila à une éspérance de 2,16. (les 100 machines ont fait qq chose !! )
reste maintenant l'age moyen, si je suit les unitées c'est l'ecart type donc 0,745

[isozv]

Oui c'est ce que tu as eu comme résultat. Mais si tu étais un de mes ingénieurs je t'aurais limite licencié si tu m'avais présenté le résultat ainsi!

Et l'espérance C'EST l'âge moyen!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

L'écart-type c'est l'écart à la moyenne (pour simplifier...).

[invite44981d02]

oui, j'admet la rédaction laisse à desirer mais le raisonnement suit comme meme.
sur l'espérance on est d'accord, pour l'âge moyen je n'etait pas sur car l'enoncé les demandés chacune dans un question a part, si j'ai saisi c pareil donc c un 'piège'.


si tout va bien je passe aux questions suivantes.

[invite44981d02]

je recalcule et je garde les fractions
P(1)=1/6=4/24 ; P(2)=13/24 ; P(3)=1/4=6/24 ; P(4)=1/24

pour une anné donnée ,Soit a nbr de machine neuve
b nbr de machine d'un an
c nbr de machine de 2 ans
d nbr de machine de 3 ans

>Le nbr de machine à acheter est a*1/6+b*13/20+c*6/7+d
donc pour une année k, le nbr de machines F(k) à acheter est :
F(k) = F(k-1)*1/6 + F(k-2)*13/20 + F(k-3)*6/7 + F(k-4)

avec F(1)=N*1/6
F(2)=F(1)*1/6+(N*(1-1/6))*13/20
F(3)=F(2)*1/6+(F(1)*(1-1/6))*13/20+(N*5/6*7/20)6/7
F(4)=F(3)*1/6+(F(2)*(1-1/6))*13/20+(F(1)*5/6*7/20)6/7+N(5/6*7/20*1/7)*1

On peut prendre F(0)=N : au début, parc vide doit comporter N machines.


Le demandé c'est la formule explicite de F.

[invite44981d02]

P(1)=1/6=4/24 ; P(2)=13/24 ; P(3)=1/4=6/24 ; P(4)=1/24

pour une anné donnée ,Soit a nbr de machine neuve
b nbr de machine d'un an
c nbr de machine de 2 ans
d nbr de machine de 3 ans

>Le nbr de machine à acheter est a*1/6+b*13/20+c*6/7+d
donc pour une année k, le nbr de machines F(k) à acheter est :
F(k) = F(k-1)*1/6 + F(k-2)*13/20 + F(k-3)*6/7 + F(k-4)

avec F(1)=N*1/6
F(2)=F(1)*1/6+(N*(1-1/6))*13/20
F(3)=F(2)*1/6+(F(1)*(1-1/6))*13/20+(N*5/6*7/20)6/7
F(4)=F(3)*1/6+(F(2)*(1-1/6))*13/20+(F(1)*5/6*7/20)6/7+N(5/6*7/20*1/7)*1

On peut prendre F(0)=N : au début, parc vide doit comporter N machines.

L'énonce donne en fait une indication, la voila:
" le polynome x^4 - 1/6 x^3 - 13/24 x^2 - 1/4 x - 1/24 admet comme racine : 1 ; -1/3 ; 1/4-i/4 ; -1/4-i/4 "

Le but est de déterminer une écriture explicite de F.
relation avec l'indication

[invite44981d02]

j'ai creusé un peu , a partir de la relation de récurrence d'ordre 4 on construit une matrice qui transforme un vecteur colonne de composants (Fi;Fi+1;Fi+2;Fi+3) en (Fi+1;Fi+2;Fi+3;Fi+4), cette matrice est la matrice compagnon , son polynome caractéristique n'est autre que le polynome donné en indication , avec les racines du polynome on peut diagonaliser la matrice ...
est ce que je me fait comprendre ?

[invite44981d02]

> Question#1
L'espérance de vie d'une machine:
P'1=1/6 ; P'2=13/20 ; P'3=6/7 ; P'4=1
Soit P(X) la probabilité de tomber en panne lors de l'année X (sachant que la machine est neuve).
X€ {1, 2, 3,4} P(1) = P'1 = 1/6
P(2) = (1-P'1)*P'2=5/6*13/20 = 13/24
P(3) = (1-P'1)*(1-P'2)*P'3=1/4 = 6/24
P(4) = (1-P'1)*(1-P'2)*(1-P'3)*P'4=5/120 = 1/24

P(X):la probabilité que la machine tombe en panne durant l'année X

L'espérance mathématique : E(X):=Sum[Xi P(Xi)]=2,16 ans
-> L'espérance de vie d'une machine est 2,16ans soit 2ans et 2mois





> Question#2
L'âge moyen des machines ici est 2 ans et 2 mois, égal à l'espérance de vie.



> Question#3
Soit a le nombre de machine neuve,
b celle d'un an d'âge,
c celle de deux ans d'âge,
et d celle de trois ans d'âge.
On remplace des machines neuves (P(1)*a), pour les machines de deux ans d'âge (P(2)*b) doivent être remplacé,(P(3)*c) pour celle a trois ans d'âge et (P(4)*d) pour les plus anciennes.
Donc le nombre de machine à acheter au bout de l'année courante est:
N°= 1/6*a + 13/24*b + 6/24*c + 1/24*d


> Question#4
Si on désigne N°(k) le nombre de machine neuve à acheter à l'année k
N°(k)= 1/6*N° (k-1) + 13/24*N° (k-2) + 6/24*N° (k-3) + 1/24*N° (k-4) avec k>4.
et N°(0)=N
N°(1)= 1/6*N°(0)
N°(2)= 1/6*N°(1) + 13/24*N°(0)
N°(3)= 1/6*N°(2) + 13/24*N°(1) + 6/24*N°(0)
N°(4)= 1/6*N°(3) + 13/24*N°(2) + 6/24*N°(1) + 1/24*N°(0)

Si on pose
et

Alors A X(k) = X (k+1)
soit


> Donc A X1 = X2 => A^k X1 = X (k+1)

Pour utiliser cette dernière formule on doit diagonaliser la matrice A (on utilise la décomposition de Jordan). J la matrice diagonale et P la matrice de passage.


> with(linalg): J:=jordan(A,'P');

> print(P);
> print(inverse(P));

> evalm(P&*J&*inverse(P));
.


> A^k 1 = P d^k P^(-1) X1 = X(1+k)
En calculant (P d^k P^(-1) X1) et en la réorganisant suivant les valeurs propres de A on aura:

N°(k+4)= [2/5*N°(4)-N°(3)/5-3/20*N°(2)-N°(1)/20] * (-1/3)^k +
(-1/4+I/4)^k*[(9/130+33/130I)*N°(4)-(6/65+23/260I)*N°(3)+(1/130-9/65I)*N°(2)+(1/65-7/260I)*N°(1)] +

(-1/4-I/4)^k*[(9/130-33/130I)*N°(4)-(6/65-23/260I)*N°(3)+(1/130+9/65I)*N°(2)+(1/65+7/260I)*N°(1)] +

N°(1)/52+ 7/52*N°(2)+5/13*N°(3)+6/13*N°(4) ;


#Ainsi pour un parc comportant N machines:
N°(0)=N ; N°(1):=N/6 ; N°(2)=17/24*N ; N°(3)=11/24*N ; N°(4)=313/576*N

#=> ####
N°(k+4)=N/90*(-1/3)^k + (-1/4+I/4)^k*N*[83/24960-I*43/8320] + (-1/4-I/4)^k * N*[83/24960+I*43/8320] + N*41/78

(-1/4+I/4)^k + (-1/4-I/4)^k = 2*sqrt (2)^k*cos(3Pi*k/4)
et (-1/4+I/4)^k - (-1/4-I/4)^k = 2*I*sqrt(2)^k*sin(3Pi*k/4)
Après réarrangement et simplification de N° (k+4) on détermine N°(k).
> Enfin : N°(0)=N ; N°(1):=N/6 ; N°(2)=17/24*N ; _ N°(3)=11/24*N ; N°(4)=313/576*N

et si k>4 N°(k)= N [ 41/78 + 1/90*(-1/3)^(k-4) - (sqrt(2)/2)^(k-4)* (83/2496*cos(3Pi*k/4)+43/8320*sin(3Pi*k/4)) ]


>Question#5
En régime permanent le nombre de machine à acheter chaque année est determinée en faisant tendre k vers l'infini dans N°(k). D'après la formule précédente en puissance (k-4) tendent vers zéro puisque inférieur à 1 strictement, et les fonctions cos et sin sont bornée. Donc en régime permanent on doit acheter chaque année (41/78*N) machines pour garder le même nombre de machine dans le parc.


FIN

[invite44981d02]

WaaW , c fait enfin§
merci pour ceux qui m'on aidé