produits de cosinus

[invite37c192d1]

Bonsoir!
Je dois calculer
Mais j'ai beau passer par la forme exponentielle ou utiliser des formules trigo.. je n'y arrive pas
Quelqu'un aurait-il une piste à me proposer?
Merci d'avance
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[invite4ef352d8]

Salut !


astuce :

cos(x)= sin(2x)/(2sin(x))

[invite4ef352d8]

ah non désolé, j'ai mal lu :S.

je croyait qu'on parlé d'un produit de la forme des cos(x/2^k)...


t'es su que c'est pas 2n au dénominateur ?
si c'est le cas, c'est le produit des racines d'un polynome de tchebitchev...

[invite37c192d1]

et non, c'est bien 2^n.. Et ça m'embête bien d'ailleurs
merci quand même

D'autres idées?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite427a2582]

Ca revient en fait à calculer :

Edit : il ya un exp apres le Re, mais il ne passe pas :/

[invite4ef352d8]

non pas du tous.

[invite37c192d1]

Tu veux dire que c'est la partie réelle de cette exponentielle?
Je voulais faire ça, mais j'ai eu l'impression que c'est faux, à cause du produit justement, tu peux m'éclairer un peu?

edit:ah bah j'me disais aussi..

[invite427a2582]

Je ne comprends pas pourquoi il ne veut pas passer :/
Enfin bref, il faut utiliser le fait que multiplier des exponentielles revient à faire la somme des des puissances

[invite37c192d1]

Oui mais pourquoi tu es sûr que la partie réelle de ça est bien le cos que je cherche? (ça ne paraît pas évident à première vu..)

[invite4ef352d8]

Non syracuse : ici c'est un produit de cosinus pas un produit d'exponentielle. et la parti réel d'un produit, c'est pas le produit des parties réel...

[invitea7fcfc37]

Essaie d'utiliser un truc du genre :

cosa*cosb = 1/2 * (cos(a-b) + cos(a+b)) en faisant une disjonction de cas sur la valeur de n peut être .. :?

[invite37c192d1]

J'ai aussi essayé d'écrire le cos sous forme de série, mais même comme ça, je n'avance pas..
Je ne vois pas quoi faire d'autre là...

[invite4ef352d8]

mais tu es sur qu'il y a quelque chose à dire sur ce produit ? c'est un exo qu'on ta posé ou bien tu es tombé dessus par hasard.

[invite37c192d1]

C'est un exo qu'on m'a posé (un DM) je dois calculer ce produit et en trouver la limite quand n tend vers l'infini..

[invite37c192d1]

personne ne sait donc?
j'ai essayé d'en prendre le logarythme néperien pour avoir une somme, mais je ne vois pas comment simplifier tout ça..

[invite35452583]

C'est un exo qu'on m'a posé (un DM) je dois calculer ce produit et en trouver la limite quand n tend vers l'infini..

Tu es sur que l'on ne cherche pas une simple approximation du produit car le calcul de la limite ne me semble pas triviale mais pas très difficile (même un topologiste comme moi y arrive ).
Tandis que transformer le produit sous une forme exacte si même Ksilver n'a aucune piste c'est que si c'est possible ça n'a vraiment rien de trivial.

[invite37c192d1]

Bah l'énoncé dit calculer et en déduire la limite...
Mais même sous cette forme je ne vois pas la limite de toute façon...
Comment tu t'y prends?

[invitea7fcfc37]

Dis une grosse bêtise, l'heure tardive peut être ..

[invite35452583]

Bah l'énoncé dit calculer et en déduire la limite...
Mais même sous cette forme je ne vois pas la limite de toute façon...
Comment tu t'y prends?

Ton produit est encadré par 1 et cos(npi/2ⁿ)ⁿ. Un petit ln sur ce deuxième terme, un DL à l'ordre 2 de cos, ln(1+x) est équivalent à x pour x petit.

[invite37c192d1]

Oui je suis bête!
Merci beaucoup

[invite4793db90]

Salut,

j'ai calculé brutalement les premiers termes, et les expressions obtenues deviennent vite indigestes. Par exemple, pour , le produit vaut :



Tu nous diras s'il y a effectivement une expression générale.

Cordialement.

[invite37c192d1]

À vue d'œil ça paraît compliqué à trouver
Mais je vous dirai ça quand j'aurais un corrigé!
Merci à tous pour votre aide.

[invite4ef352d8]

bon en tous cas otu peut tous meme prouver que la limite est 1 :

par exemple, on passe au log ln(Un) = somme de ln(cos(kPi/2^n))


ensuite avec un début de Dl en 0 on ecrit que ln(cos(x)) = O(x²)

ie il existe k>0 et M, telle que si |x|<k, alors | ln(cos(x)) | <Mx².

pour n suffisement grand kPi/2^n < k (car k<n et n/2^n -> 0) donc a partir d'un certain rang au moins on a :

|ln(Un)| <M*somme k²*Pi²/4^n = M²*Pi²/4^n * somme des k²

et comme somme des k² ~ k^3/3, on a bien ln(Un)->0, d'ou Un->1.


Edit : j'avais pas vu le post d'Homotopie. et ca methode est encore un peu plus simple.

[invite37c192d1]

je n'ai même pas eu droit au corrigé
réponse du prof "faut linéariser"
un peu comme s'il savait pas comment faire :/
dsl