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produits de cosinus



  1. #1
    Makka

    produits de cosinus

    Bonsoir!
    Je dois calculer
    Mais j'ai beau passer par la forme exponentielle ou utiliser des formules trigo.. je n'y arrive pas
    Quelqu'un aurait-il une piste à me proposer?
    Merci d'avance

    -----

    Y'a d'la joie...

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  3. #2
    Ksilver

    Re : produits de cosinus

    Salut !


    astuce :

    cos(x)= sin(2x)/(2sin(x))

  4. #3
    Ksilver

    Re : produits de cosinus

    ah non désolé, j'ai mal lu :S.

    je croyait qu'on parlé d'un produit de la forme des cos(x/2^k)...


    t'es su que c'est pas 2n au dénominateur ?
    si c'est le cas, c'est le produit des racines d'un polynome de tchebitchev...

  5. #4
    Makka

    Re : produits de cosinus

    et non, c'est bien 2^n.. Et ça m'embête bien d'ailleurs
    merci quand même

    D'autres idées?
    Y'a d'la joie...

  6. #5
    Syracuse_66

    Re : produits de cosinus

    Ca revient en fait à calculer :

    Edit : il ya un exp apres le Re, mais il ne passe pas :/

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ksilver

    Re : produits de cosinus

    non pas du tous.

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  10. #7
    Makka

    Re : produits de cosinus

    Tu veux dire que c'est la partie réelle de cette exponentielle?
    Je voulais faire ça, mais j'ai eu l'impression que c'est faux, à cause du produit justement, tu peux m'éclairer un peu?

    edit:ah bah j'me disais aussi..
    Y'a d'la joie...

  11. #8
    Syracuse_66

    Re : produits de cosinus

    Je ne comprends pas pourquoi il ne veut pas passer :/
    Enfin bref, il faut utiliser le fait que multiplier des exponentielles revient à faire la somme des des puissances

  12. #9
    Makka

    Re : produits de cosinus

    Oui mais pourquoi tu es sûr que la partie réelle de ça est bien le cos que je cherche? (ça ne paraît pas évident à première vu..)
    Y'a d'la joie...

  13. #10
    Ksilver

    Re : produits de cosinus

    Non syracuse : ici c'est un produit de cosinus pas un produit d'exponentielle. et la parti réel d'un produit, c'est pas le produit des parties réel...

  14. #11
    kNz

    Re : produits de cosinus

    Essaie d'utiliser un truc du genre :

    cosa*cosb = 1/2 * (cos(a-b) + cos(a+b)) en faisant une disjonction de cas sur la valeur de n peut être .. :?

  15. #12
    Makka

    Re : produits de cosinus

    J'ai aussi essayé d'écrire le cos sous forme de série, mais même comme ça, je n'avance pas..
    Je ne vois pas quoi faire d'autre là...
    Y'a d'la joie...

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  17. #13
    Ksilver

    Re : produits de cosinus

    mais tu es sur qu'il y a quelque chose à dire sur ce produit ? c'est un exo qu'on ta posé ou bien tu es tombé dessus par hasard.

  18. #14
    Makka

    Re : produits de cosinus

    C'est un exo qu'on m'a posé (un DM) je dois calculer ce produit et en trouver la limite quand n tend vers l'infini..
    Y'a d'la joie...

  19. #15
    Makka

    Re : produits de cosinus

    personne ne sait donc?
    j'ai essayé d'en prendre le logarythme néperien pour avoir une somme, mais je ne vois pas comment simplifier tout ça..
    Y'a d'la joie...

  20. #16
    homotopie

    Re : produits de cosinus

    Citation Envoyé par Makka Voir le message
    C'est un exo qu'on m'a posé (un DM) je dois calculer ce produit et en trouver la limite quand n tend vers l'infini..
    Tu es sur que l'on ne cherche pas une simple approximation du produit car le calcul de la limite ne me semble pas triviale mais pas très difficile (même un topologiste comme moi y arrive ).
    Tandis que transformer le produit sous une forme exacte si même Ksilver n'a aucune piste c'est que si c'est possible ça n'a vraiment rien de trivial.

  21. #17
    Makka

    Re : produits de cosinus

    Bah l'énoncé dit calculer et en déduire la limite...
    Mais même sous cette forme je ne vois pas la limite de toute façon...
    Comment tu t'y prends?
    Y'a d'la joie...

  22. #18
    kNz

    Re : produits de cosinus

    Dis une grosse bêtise, l'heure tardive peut être ..
    Dernière modification par kNz ; 11/11/2007 à 01h51.

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  24. #19
    homotopie

    Re : produits de cosinus

    Citation Envoyé par Makka Voir le message
    Bah l'énoncé dit calculer et en déduire la limite...
    Mais même sous cette forme je ne vois pas la limite de toute façon...
    Comment tu t'y prends?
    Ton produit est encadré par 1 et cos(npi/2n)n. Un petit ln sur ce deuxième terme, un DL à l'ordre 2 de cos, ln(1+x) est équivalent à x pour x petit.

  25. #20
    Makka

    Re : produits de cosinus

    Oui je suis bête!
    Merci beaucoup
    Y'a d'la joie...

  26. #21
    martini_bird

    Re : produits de cosinus

    Salut,

    j'ai calculé brutalement les premiers termes, et les expressions obtenues deviennent vite indigestes. Par exemple, pour , le produit vaut :



    Tu nous diras s'il y a effectivement une expression générale.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  27. #22
    Makka

    Re : produits de cosinus

    À vue d'œil ça paraît compliqué à trouver
    Mais je vous dirai ça quand j'aurais un corrigé!
    Merci à tous pour votre aide.
    Y'a d'la joie...

  28. #23
    Ksilver

    Re : produits de cosinus

    bon en tous cas otu peut tous meme prouver que la limite est 1 :

    par exemple, on passe au log ln(Un) = somme de ln(cos(kPi/2^n))


    ensuite avec un début de Dl en 0 on ecrit que ln(cos(x)) = O(x²)

    ie il existe k>0 et M, telle que si |x|<k, alors | ln(cos(x)) | <Mx².

    pour n suffisement grand kPi/2^n < k (car k<n et n/2^n -> 0) donc a partir d'un certain rang au moins on a :

    |ln(Un)| <M*somme k²*Pi²/4^n = M²*Pi²/4^n * somme des k²

    et comme somme des k² ~ k^3/3, on a bien ln(Un)->0, d'ou Un->1.


    Edit : j'avais pas vu le post d'Homotopie. et ca methode est encore un peu plus simple.

  29. #24
    Makka

    Re : produits de cosinus

    je n'ai même pas eu droit au corrigé
    réponse du prof "faut linéariser"
    un peu comme s'il savait pas comment faire :/
    dsl
    Y'a d'la joie...

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