Problème INA 1985
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Problème INA 1985



  1. #1
    invite20371daa

    Problème INA 1985


    ------

    Bonjour!
    Cela fait plusieurs jours que je me creuse la tête sur cette petite question du problème de l'INA 1985 (première composition):

    Ik= (1-x2)k dx

    Pour k N

    On me demande de monter que pour k 1,

    Ik= (2k I k-1)/ (2k+1)

    J'ai essayé par IPP, de même en décomposant (1-x²) en (1-x)(1+x) puis IPP mais je n'y parvient pas.

    Merci de votre aide.

    Clr

    -----

  2. #2
    azt

    Re : Problème INA 1985

    Salut,

    L'intégration par partie marche bien pourtant

    En prenant
    u=(1-x^2)^(k)
    v'=1

    et en utilisant ensuite la relation
    x²(1-x²)^k = (1-x²)^k - (1-x²)^(k+1)

    On retombe sur la formule demandée

    @+
    Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]

  3. #3
    invitebb921944

    Re : Problème INA 1985

    Joli azt.
    J'aimerais juste savoir comment tu trouves çà :
    x²(1-x²)^k = (1-x²)^k - (1-x²)^(k+1)

  4. #4
    invite20371daa

    Re : Problème INA 1985

    -Ganash
    Je suis soulagée de voir que je ne suis pas seule à me poser la question...

    -azt
    Merci, ça m'aide un peu mais la relation que tu donnes n'est pas évidente pour moi.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitef6a8dd1c

    Re : Problème INA 1985

    Et bien, il suffit de développer un peu le membre de droite:

    Dans l'expression (1-x²)^k - (1-x²)^(k+1), le facteur (1-x²)^k est commun aux 2 termes, et on peut donc le factoriser. On obtient alors:

    (1-x²)^k*[1 - (1-x²)] = x²(1-x²)^k comme annoncé par azt.

    Geoffrey

  7. #6
    invitebb921944

    Re : Problème INA 1985

    et çà vous parait évident quand vous voyez x²*(1-x²)^k cette transformation ?

  8. #7
    azt

    Re : Problème INA 1985

    Yep, tout juste.

    Tu fais cet exercice dans quel but Clr ?
    C'est pour la passion des maths ?
    Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]

  9. #8
    invitef6a8dd1c

    Re : Problème INA 1985

    Ganash: pas évident a priori, et je n'y avais en fait pas pensé. Par contre, en voyant l'expression proposée par azt, la démonstration m'a paru claire, grâce au terme en x².
    Et puis, ça m'a rappelé un exercice que j'ai fait en prépa, si pas le même, du moins un très proche.

    Ce genre de problème où on détermine des intégrales en utilisant des suites est courant.

    Geoffrey

  10. #9
    invite20371daa

    Re : Problème INA 1985

    Citation Envoyé par azt
    Yep, tout juste.

    Tu fais cet exercice dans quel but Clr ?
    C'est pour la passion des maths ?
    Je fais cet exercice car c'est un devoir maison que je dois rendre dans 2 semaines...
    Sinon, je n'ai pas une passion particulière pour les maths. ça m'amuse de chercher ce genre de problème mais rien de plus.
    C'était ironique ta question?

    Merci Geof, azt et Ganash pour votre aide.
    Si vous voulez , j'ai des autres questions dans le même genre...

    Claire

  11. #10
    azt

    Re : Problème INA 1985

    Non, non, pas ironique du tout,
    j'en ai connu qui faisaient des annales de concours pour le plaisir...
    Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]

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