Un problème avec la fonction 1/(x²+1)

[invite4910fcda]

Bon d'abord je voudrais signaler qu'il ne s'agit pas d'un dm mais d'un petit exo que je fais pour moi et que je n'arrive pas à résoudre en utlilsant uniquement le programme de terminale S (j'ai un peu d'avance).

On considère la fonction f: x->1/(x²+1)
On appelle F la seule primitive de f tel que F(0)=0

On me demande d'abord de prouver que la fonction g: x->-F(-x) est aussi une primitive de f.
Puis on me demande de prouver que F(-1/x) est aussi un primitive de f sur ]0;l'infini[. Et d'en déduire que F(x)= 2F(1) - F(1/x) et que F admet une limite en l'infini.

Mon problème est que tout ça se fait en utilisant les propriétés de la fonction arctangeante et que je ne vois pas comment le faire autrement.
Pourriez-vous m'aider??
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[Coincoin]

Salut,
Il faut repartir de la définition de la prmitive : .
Si tu fais le changement de variable u=-t alors, tu as
Or (-u)²=u² et si tu pose y=-x, tu obtiens que .
Bref, la fonction y->-F(y) est aussi une primitive de f.
Pour la suite, ça doit être la même chose en plus compliqué...

[olle]

-F(-y) pas -F(y)

[invite4910fcda]

Bon je comprend la réponse de Coincoin mais si je marque ça c'est ma mort parce-que je ne suis pas censé avoir vu les intégrales, je dois me servir uniquement ds dérivés et primitives.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Pour la première question, je dirai :
On a
f(x)=1/(1+x²)
La dérivée de -F(-x) est F'(-x). (dérivée d'une fonction composée)
Or, F'(-x)=F'(x) (car 1/(1+x²) est paire)
Donc, la fonction -F(-x) est aussi une primitive de f.

Ensuite :

La dérivée de F(-1/x) est F'(-1/x)*1/x² (dérivée d'une fct composée)
F'(-1/x)*1/x²=1/(1/x²+1)*1/x²=1/(1+x²)
Donc F(-1/x) est bien une primitive de f sur ]0;+l'infini[ (on exclut le 0 car sinon, -1/x n'est pas défini.)

Pour la fin, je vais chercher un peu.

[invitebb921944]

Et d'en déduire que F(x)= 2F(1) - F(1/x) et que F admet une limite en l'infini.

Pour F(x)= 2F(1) - F(1/x), je sais pas.
F admet une limite en + l'infini ssi sa dérivée en + l'infini est nulle (çà se voit facilement avec un graphique.

[invite4910fcda]

Ba ça c'est ok en +l'infini, 1/(x²+1) tend vers 0 donc F admet une limite.

En tout cas bien joué pour les première questions, je me disait aussi que ça concernait la parité mais j'avais une méthode bidouillage.

[olle]

attention, 1/x tend aussi vers 0 en +inf, pourtant sa primitive ln(x) ne converge pas.

il faut que le degré de x au dénominateur est > 1

[invitead128823]

F(x) est la primitive de f telle que F(0)=0

-F(-x) est une primitive de f d'où
-F(-x) = F(x) + K1 avec K1 constante eq(1)

F(-1/x) est une primitive de f d'où
F(-1/x) = F(x) + K2 avec K2 constante eq(2)

en prenant pour valeur particulière x=1 et en faisant la somme de des 2 équations eq(1) et eq(2) on obtient

-F(-1)+F(-1) = F(1)+F(1)+K1+K2, d'où

2F(1) = -(K1+K2) eq(3)

d'autre part en faisant 2 changements de variables (par exemples y=1/x puis x=y) sur eq(2) on obtient:

F(-y) = F(1/y)+K2, puis
F(-x) = F(1/x)+K2 eq(4)

en faisant la somme eq(1) + eq(4) on obtient:

-F(-x)+F(-x) = F(x) + F(1/x) + K1 + K2 soit
F(x) + F(1/x) = -(K1+K2)

en remplaçant -(K1+K2) par sa valeur (eq(3))
F(x) + F(1/x) = 2F(1) soit
F(x) = 2F(1)-F(1/x)


enfin forsque x tend vers l'infini, F(x) tend donc vers:
2F(1)-F(0) et comme F(0)=0, F(x) tend vers 2F(1) quand x tend vers l'infini

[invite4910fcda]

Jer ne suis pas sur que ceci soit possible:
y=1/x puis x=y
car alors x=1/x
Non??

[invite4910fcda]

Cette queestion est décidément difficile.

[invitead128823]

lors d'un changement de variable, le nom de la variable est arbitraire. Reprenons alors l'équation que j'avais appelée eq(2). Elle peut tout à fait s'écrire sous cette forme:

F(-1/t) = F(t) + K2 avec K2 constante eq(2)
(le nom de la variable (x ou t ou n etc...) est arbitraire et ne change en rien l'équation.

si maintenant on effectue les 2 changements de variable y=1/t puis x=y, on retrouve le même résultat que j'avais indiqué.

[invite4910fcda]

En fait non parce-que le 2e x n'est pas le même que le premier donc tu ne peut pas écrire la suite.
Regarde eq2 et eq4 on a : x=1/x
En fait l'erreur est dans ton changement de variable mais je ne vois pas comment la réctifier.

[invite980a875f]

Je pense que lele a raison, le nom de la variable n'importe pas, il me semble...

[invite4910fcda]

Jusqtement alors si on l'appelle z eq4 serait:
F(-z)=F(1/z)+K2 avec zdifférent de x.

Ainsi eq4+equ1 serait:
-F(-x) + F(-z) = F(1/z) + F(x) + K1 + K2

C'est plus clair??
Le problème vient du fait qu'une variable n'est pas caractérisé par son nom.

[invite4910fcda]

Alors cette question là c'est encore pire que l'autre topic.

[invite4910fcda]

Voilà où j'ai aboutie à partir de ce qu'a fait lele.

Si -F(-x)=F(x)+K2

-F(1/x)=F(-1/x)+K3
F(1/x)=-F(-1/x)-K3
or F(-1/x)=F(x)+K2
d'où F(1/x)= -F(x)-K2-K3
Ainsi: F(x)=-(K2+K3)-F(1/x)

Maintenant es-ce que quelqu'un saurait passer de K2+K3 à K1+K2 puique 2F(1)=-(K1+K2)

[invite35a1e919]

pour montrer F(x)= 2F(1) - F(1/x)

on peut étudier les variation de la fonction x-->F(x)+F(1/x)
dont la derivée existe et est nulle, donc cette fonction est constante.
On regarde son image en 1 qui est 2F(1) et c'est finit

[invite4ef352d8]

"F admet une limite en + l'infini ssi sa dérivée en + l'infini est nulle (çà se voit facilement avec un graphique."


>> attention ceci est totalement faux ! ni l'implication, ni la reciproque et encore moins l'equivalence :

-fonction dont la derivé tend vers 0, mais qui ne pas de limite en plus l'infinit : ln(x)

-fonction ayant une limite finit en +inf, mais dont la derivé ne tend pas vers 0 : sin(exp(x))/x

[Coincoin]

Sans vouloir jouer le rabat-joie, ce sujet a 2 ans...

[invite35a1e919]

pas pensé a regarder l'année