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homogénéité des fonctions



  1. #1
    isabell

    homogénéité des fonctions


    ------

    Bonjour,

    Je fais de l'éco et j'ai toujours appris la définition de l'homogénéité (par exemple de degré 2) pour une fonction f comme ça:
    f(tx,tz)=t²f(x,z). Bien sûr je connais les propriétés qui vont avec.

    Le problème c'est que je suis en train de lire un article qui utilise des "paramètres d'homogénéité" qui seraient ici des fonctions t(x,z) (enfin si j'ai bien compris). En note de bas de page l'auteur rappelle la règle suivante:

    pour tous t, x, z, il existe une fonction m(t,x,z) telle que:
    f(tx,tz)=f(x,z)=m(t,x,z)

    Ma question est donc la suivante: est ce que ça fait référence à une notion de math précise? Si oui pourriez vous me dire dans quel type de bouquins chercher ou m'indiquer un site?

    Merci beaucoup

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : homogénéité des fonctions

    Suspect ce truc, il est évident que toute fonction de tx et ty est une fonction de t, x et y.
    Peux-tu vérifier, STP ?

  4. #3
    isabell

    Re : homogénéité des fonctions

    oui effectivement je me suis gourrée! (désolée)
    La bonne équation c'est ça:
    f(tx,tz)=f(x,z)+m(t,x,z)

    merci

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : homogénéité des fonctions

    N'importe quelle fonction f satisfait à cette équation. Aurais-tu un exemple ?
    Ca ne serait pas plutôt du genre :
    f(tx, tz) = f(x, z) * m(t)
    Je le sentirais mieux et ça ressemblerait à la définition classique.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    isabell

    Re : homogénéité des fonctions

    non il n'y a pas d'exemple. En fait l'auteur commence par écrire l'équation d'Euler toute simple pour une fonction f(Z,X), homogène de degré zéro en Z et X. Puis il dit (je cite): "L'homogénéité de degré zero n'est plus satisfaite lorsque pour t>1, f(tZ,tX)>f(Z,X). En termes de dérivées, ces cas peuvent être décrits comme suit:
    f1=-Xf2/Z+k(Z,X)f1
    (f1 et f2 sont les dérivées partielles de f)
    où le paramètre d'homogénéité k(Z,X) est compris entre 0 et 1. " Et c'est là qu'intervient la note de bas de page:
    pour tous t, Z,X, il existe un m(t, Z,X) telle que f(tZ,tX)=f(Z,X)+m(t,Z,X). Etant donné le type de non-homogénéité dont on a fait l'hypothèse, il suit que m est négatif lorsque t>1 et nul lorsque t=1 etc...

    (Désolée je t'ai mis la totale)

    merci en tout cas pour ton aide

  8. #6
    Jeanpaul

    Re : homogénéité des fonctions

    Très étonnant hors de tout contexte. Si f est homogène, alors -f doit l'être aussi. Comment parler alors du signe de m ?
    Si c'est un article, pourquoi ne pas envoyer un mail à l'auteur ?

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  10. #7
    ericcc

    Re : homogénéité des fonctions

    En fait je crois que la fonction f est quelconque et que l'on cherche à mesurer son "degré" d'homogénéité avec cette fonction m(t,x,y).

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : homogénéité des fonctions

    Ca paraît une approche astucieuse mais quand f est réellement homogène, la fonction m ne s'annule pas.

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