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Corollaire du théorème de Green



  1. #1
    Victim

    Corollaire du théorème de Green


    ------

    Bonjour, je n'arrive pas à comprendre la démonstration du
    théorème de la divergence dans le plan (corollaire du
    théorème de Green):
    Avec les mêmes hypothèses que le théorème:


    (avec nu champ vectoriel unitaire normal au bord de oméga

    Dans la démo, on paramétrise le bord de oméga par

    sur l'intervalle [a;b] et on définit
    Aussi on prend f1=-F2 et f2=F1
    Grace à Green on a

    Ensuite on fait le produit scalaire, on remplace et f1 et f2 par -F2 et F1, à la fin des égalités:


    Mon problème vient de la définition de nu: en effet elle est définie comme une fonction composée avec gamma et en en calculant les dérivées. Donc selon ce que j'ai compris des intégrales curvilignes, lorsque l'on passe de l'avant dernière à la dernière expression, nu n'est plus composée avec gamma:
    mais comme elle calcule les dérivées des 2 composantes qu'on lui envoie,
    si on intègre sur le bord de oméga (le long de gamma), on lui envoie des points du plan, et donc nu est nulle en tout point... Or c'est censé rester un champ vectoriel normal...
    Peut-être que vous avez une explication à ce "phénomène", merci d'avance...

    -----

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  3. #2
    homotopie

    Re : corollaire du théorème de Green

    n'est pas un opérateur mais un vecteur qui est défini en faisant opérer l'opérateur allant des chemins dans les vecteurs unitaires définies le long du chemin.
    est donc définie "une fois pour toutes" en chaque point du chemin ( ne dérive pas).
    Je ne sais pas si je suis clair.

  4. #3
    Victim

    Re : corollaire du théorème de Green

    Heu.. mais je pensais que comme on se sert de la définition de nu pour insérer la norme de gamma', ça voulait dire que nu serait définie comme au départ, en faisant les dérivées des composantes de gamma, et ce jusqu'à la fin d'où le problème.. Car si on décide dans la dernière expression que nu est une fonction de points du plan, sans opérer de dérivées, pourquoi il y aurait égalité avec tout le reste? Ne faut il pas faire

    Mais, voilà je ne vois toujours pas comment faire pour ne pas avoir une fonction nulle, faut-il passer par une étape intermédiaire où nu ne serait plus un opérateur, mais alors comment effectuer le changement de variable pour passer de dtheta à dl?..

  5. #4
    Victim

    Re : corollaire du théorème de Green

    Je repose ma question différemment, peut-être serais-je plus compréhensible...
    On a:


    Mais alors comment avoir de manière symétrique:


    car il n'y a pas de gamma dans le h et donc on ne peut passer sans sourciller (si c'est possible) à

  6. #5
    GrisBleu

    Re : corollaire du théorème de Green

    Salut

    Es tu sur que n'est pas defini sur le plan ? Ou du moins est definie sur le plan restreint a ton chemin.
    C'est a dire que

    A+

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Victim

    Re : corollaire du théorème de Green

    Heu, dans la démo, nu est définie à partir de gamma, mais je ne pense pas que nu dépende de la paramétrisation de gamma puisque nu est unitaire et normale à la courbe géométrique ...
    Ainsi nu n'est à mon avis définie que pour les points du plan où passe le bord de oméga, mais ce n'est pas vraiment le problème...

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  10. #7
    GrisBleu

    Re : corollaire du théorème de Green

    Salut

    Mais nu est defini sur ta courbe. Et ta courbe semble parametrisee par gamma.
    Je regarde ca ce soir
    ++

  11. #8
    edpiste

    Re : corollaire du théorème de Green

    Il y a en fait deux et un abus de notation courant.

    Dans l'énoncé du théorème, il faut lire



    Dans la preuve il faut travailler avec



    et repasser à dans la dernière ligne

  12. #9
    Victim

    Re : Corollaire du théorème de Green

    Merci, tout s'explique alors, en tous cas cela me semble la bonne réponse (il ne semble plus y avoir de fautes les deux nu étant égales si on compose le premier à droite avec gamma et à la fin ça marche aussi le long du bord de oméga en enlevant le gamma à droite)...
    C'est souvent comme ça: si on ne fait pas bien attention en regardant la démo, tout semble logique et clair comme de l'eau de roche... Mais si on creuse un peu, on découvre qu'il y a des petites incohérences dues à des sous-entendus non toujours explicités, enfin bref, merci beaucoup de vous être penchés sur la question!

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