Matrice de passage

[Etile]

Bonsoir,
J'aurais besoin de clarifications sur les matrices de passages. Est-ce que quelqu'un pourrait répondre à mes questions ou, dans le pire des cas, me renvoyer sur un cours avec démonstrations ?

Soit la matrice de passage d'une base à une base . Supposons que ces matrices soient définies sur et que je ne leur impose aucunes conditions, elles peuvent donc être non orthonormée.

Est-ce que est égale à la transposée conjuguée de si et seulement si les bases B et B' sont orthonormées ? Est-il suffisant qu'elles soient orthogonales ? Est-ce que cette relation marche aussi pour une base de dimension infinie ?

Ensuite, je ne suis pas certain d'avoir réellement bien compris comment les exploiter.
Par exemple : Soit un vecteur appartenant à projeté dans la base . Soit ce même vecteur projeté dans la base .

On appelle la matrice de passage constituée des vecteurs exprimés en colonnes dans la base des .
Par ailleurs, on sait que . On peut également interprêter la matrice de passage comme l'application identité qui envoie les vecteurs dans la base des .

Résultat, la matrice de passage associe un vecteur exprimé dans pour l'exprimer dans ? Je trouve ça plutôt bizarre, vu qu'on l'appelle matrice de passage de à mais je le comprends comme ça.
Donc, si je veux exprimer un vecteur dans , il faut que je connaisse dans (logique) et que je l'applique à la matrice ?

Je vous remercie d'avance de bien vouloir répondre à ces questions un peu basiques.
-----

[Etile]

Personne pour m'aider ? Même pas pour me donner un cours de L1 d'algèbre linéaire ?