Matrice de passage

[invite570763d7]

Bonsoir,

Je voulais vous demander de l'aide pour une question assez - voire très - bebête au sujet des matrices de passage, sur un exemple appliqué du cours, que j'ai du mal à saisir.

Excusez moi je maitrise pas trop le Tex donc on va essayer avec les moyens du bord

On prends la matrice :

A =
77, -60
100, -78

f est l'endomorphisme de R2 canoniquement associé à A.

On me demande de déterminer une base de R2 dans laquelle la matrice de f s'ecrit :

2, 0
0, -3


Je ne sais pas trop proceder avec les formules du cours. Pour répondre, et pour trouver la matrice de passage

Y'aurait-il quelqu'un pour m'éclairer ?

Merci
-----

[cedbont]

D'après la deuxième matrice, il existe une base où l'image du premier vecteur est égale à 2 fois ce vecteur et l'image du second vecteur est égale à -3 fois ce vecteur.
Trouve cette base, tu trouveras la matrice de passage !

[invite570763d7]

Donc en gros on aurait, si on prend la nouvelle base (e'1;e'2), et l'initiale (e1;e2) :

v1 = 77e1 + 100e2 = 2e'1
v2 = -60e1 -78e2 = -3e'2

Excusez-moi si mes questions sont bêtes, mais je maitrise pas du tout cette partie du cours...

[invite1d97d2eb]

salut.
Alors je pense que tu peut faire avec un determinant:
det(A - ZI) = 0 A;ta matrice a digonaliser
Z: inconnue(mais la tu aura 2 et -3 vu qu'ils te donnent la reponse)
I:matrice identité
tu te rammene a un polynome que tu doit factoriser et tu trouve les valeurs de Z possible.
Dans (A - ZI)X = 0 tu remplace Z par ta premiere valeur.
X: veteur (x,y)
tu ecrit le systeme qui en decoule et tu le resoud. tu a donc un vecteur
tu fait de meme pour ta deuxieme valeur de Z
tu a fini:
les valeur de Z sont les elements de la diagonale(les autres sont zero)
et les vecteurs que tu as forment la matrice de passage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1d97d2eb]

exemple:
A=
2 3
0 -1

det(A- ZI) = 0 <=> deteminant de
2-Z 3
0 -1-Z
<=>(2-Z)(-1-Z)
Z1=-1 Z2=2

pour Z1 = -1
(A-ZI)X = 0 devien
3 3 x = 0
0 0 y

<=>x+y = 0
le premier vecteur peut etre B1 =
1
-1
par exemple

de meme pour Z2:.... 3y=0
B2 =
1
0

diag de A:
-1 0
0 2
pass de A
1 1
-1 0


(tu peut verifier en faisant PD = AP si c'est vrais c'est bon)

[invite570763d7]

salut.
Alors je pense que tu peut faire avec un determinant:
det(A - ZI) = 0 A;ta matrice a digonaliser
Z: inconnue(mais la tu aura 2 et -3 vu qu'ils te donnent la reponse)
I:matrice identité
tu te rammene a un polynome que tu doit factoriser et tu trouve les valeurs de Z possible.
Dans (A - ZI)X = 0 tu remplace Z par ta premiere valeur.
X: veteur (x,y)
tu ecrit le systeme qui en decoule et tu le resoud. tu a donc un vecteur
tu fait de meme pour ta deuxieme valeur de Z
tu a fini:
les valeur de Z sont les elements de la diagonale(les autres sont zero)
et les vecteurs que tu as forment la matrice de passage

Salut,

Merci, cette methode marche super pour cet exo

Je t'embetes encore une (derniere) fois :
Imaginons qu'a la place de la matrice que j'ai ecris au dessus, il fallait à arriver à

2;1
1;-3

Comment faut-il proceder dans ce cas ?

Merci d'avance.

[invite570763d7]

Ah oui, et aussi, quand tu resouds ton polynôme en Z. Tu trouves deux valeurs. Ensuite quand tu remplaces les valeurs trouvées pour resoudre le systeme et avoir des vecteurs, dans quel ordre faut-il proceder ?
Premier vecteur avec le Z le plus petit, puis deuxieme vecteur avec Z plus grand ?

[cedbont]

Alors pour ça :

Imaginons qu'a la place de la matrice que j'ai ecris au dessus, il fallait à arriver à
2;1
1;-3

moi je ne vois qu'une solution barbare : écrire A = P^-1AP et résoudre le système à 8 inconnues !
Pour ta dernière question, l'ordre n'a aucune importance.

[invite570763d7]

Je disais ça parce que je pensais à un exo sur lequel je bloquais aussi

On a une matrice A =
1 2 1
1 1 0
0 2 1

dans la base canonique, et on nous demande si'il y a une base dans laquelle on peut ecrire la matrice

1 0 2
1 1 2
0 1 1

[invitec053041c]

Je disais ça parce que je pensais à un exo sur lequel je bloquais aussi

On a une matrice A =
1 2 1
1 1 0
0 2 1

dans la base canonique, et on nous demande si'il y a une base dans laquelle on peut ecrire la matrice

1 0 2
1 1 2
0 1 1

Déjà même trace et même déterminant. Pas de contre-indication immédiate .

[invite1d97d2eb]

l'ordre n'a pas d'importance du moment que tu met la valeur de Z au meme niveau que vecteur calculer grace a cette valeur de Z.
Sinon pour ton autre ex tu n'a qua suivre la manip que je t'ais expliqué, vu que j'ai fait comme si je ne connaissais pas la réponse.

[invite570763d7]

Pfiou j'avais vu juste, j'ai eu un exo de ce type à mon epreuve... J'ai bien fait de vous demander !

Merci

[invitef63f7107]

salut a ts;
je peut vous demander une question? comment vous avez calculer la matrice diagonale de A .

exemple:
A=
2 3
0 -1

det(A- ZI) = 0 <=> deteminant de
2-Z 3
0 -1-Z
<=>(2-Z)(-1-Z)
Z1=-1 Z2=2

pour Z1 = -1
(A-ZI)X = 0 devien
3 3 x = 0
0 0 y

<=>x+y = 0
le premier vecteur peut etre B1 =
1
-1
par exemple

de meme pour Z2:.... 3y=0
B2 =
1
0

diag de A:
-1 0
0 2

pass de A
1 1
-1 0


merci davance