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Matrice de passage



  1. #1
    Le_Canard

    Matrice de passage


    ------

    Bonsoir,

    Je voulais vous demander de l'aide pour une question assez - voire très - bebête au sujet des matrices de passage, sur un exemple appliqué du cours, que j'ai du mal à saisir.

    Excusez moi je maitrise pas trop le Tex donc on va essayer avec les moyens du bord

    On prends la matrice :

    A =
    77, -60
    100, -78

    f est l'endomorphisme de R2 canoniquement associé à A.

    On me demande de déterminer une base de R2 dans laquelle la matrice de f s'ecrit :

    2, 0
    0, -3


    Je ne sais pas trop proceder avec les formules du cours. Pour répondre, et pour trouver la matrice de passage

    Y'aurait-il quelqu'un pour m'éclairer ?

    Merci

    -----
    Dernière modification par Le_Canard ; 02/06/2007 à 23h11.

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  3. #2
    cedbont

    Re : Matrice de passage

    D'après la deuxième matrice, il existe une base où l'image du premier vecteur est égale à 2 fois ce vecteur et l'image du second vecteur est égale à -3 fois ce vecteur.
    Trouve cette base, tu trouveras la matrice de passage !

  4. #3
    Le_Canard

    Re : Matrice de passage

    Donc en gros on aurait, si on prend la nouvelle base (e'1;e'2), et l'initiale (e1;e2) :

    v1 = 77e1 + 100e2 = 2e'1
    v2 = -60e1 -78e2 = -3e'2

    Excusez-moi si mes questions sont bêtes, mais je maitrise pas du tout cette partie du cours...

  5. #4
    haiecapique

    Re : Matrice de passage

    salut.
    Alors je pense que tu peut faire avec un determinant:
    det(A - ZI) = 0 A;ta matrice a digonaliser
    Z: inconnue(mais la tu aura 2 et -3 vu qu'ils te donnent la reponse)
    I:matrice identité
    tu te rammene a un polynome que tu doit factoriser et tu trouve les valeurs de Z possible.
    Dans (A - ZI)X = 0 tu remplace Z par ta premiere valeur.
    X: veteur (x,y)
    tu ecrit le systeme qui en decoule et tu le resoud. tu a donc un vecteur
    tu fait de meme pour ta deuxieme valeur de Z
    tu a fini:
    les valeur de Z sont les elements de la diagonale(les autres sont zero)
    et les vecteurs que tu as forment la matrice de passage

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    haiecapique

    Re : Matrice de passage

    exemple:
    A=
    2 3
    0 -1

    det(A- ZI) = 0 <=> deteminant de
    2-Z 3
    0 -1-Z
    <=>(2-Z)(-1-Z)
    Z1=-1 Z2=2

    pour Z1 = -1
    (A-ZI)X = 0 devien
    3 3 x = 0
    0 0 y

    <=>x+y = 0
    le premier vecteur peut etre B1 =
    1
    -1
    par exemple

    de meme pour Z2:.... 3y=0
    B2 =
    1
    0

    diag de A:
    -1 0
    0 2
    pass de A
    1 1
    -1 0


    (tu peut verifier en faisant PD = AP si c'est vrais c'est bon)

  8. #6
    Le_Canard

    Re : Matrice de passage

    Citation Envoyé par haiecapique Voir le message
    salut.
    Alors je pense que tu peut faire avec un determinant:
    det(A - ZI) = 0 A;ta matrice a digonaliser
    Z: inconnue(mais la tu aura 2 et -3 vu qu'ils te donnent la reponse)
    I:matrice identité
    tu te rammene a un polynome que tu doit factoriser et tu trouve les valeurs de Z possible.
    Dans (A - ZI)X = 0 tu remplace Z par ta premiere valeur.
    X: veteur (x,y)
    tu ecrit le systeme qui en decoule et tu le resoud. tu a donc un vecteur
    tu fait de meme pour ta deuxieme valeur de Z
    tu a fini:
    les valeur de Z sont les elements de la diagonale(les autres sont zero)
    et les vecteurs que tu as forment la matrice de passage
    Salut,

    Merci, cette methode marche super pour cet exo

    Je t'embetes encore une (derniere) fois :
    Imaginons qu'a la place de la matrice que j'ai ecris au dessus, il fallait à arriver à

    2;1
    1;-3

    Comment faut-il proceder dans ce cas ?

    Merci d'avance.

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  10. #7
    Le_Canard

    Re : Matrice de passage

    Ah oui, et aussi, quand tu resouds ton polynôme en Z. Tu trouves deux valeurs. Ensuite quand tu remplaces les valeurs trouvées pour resoudre le systeme et avoir des vecteurs, dans quel ordre faut-il proceder ?
    Premier vecteur avec le Z le plus petit, puis deuxieme vecteur avec Z plus grand ?

  11. #8
    cedbont

    Re : Matrice de passage

    Alors pour ça :
    Imaginons qu'a la place de la matrice que j'ai ecris au dessus, il fallait à arriver à
    2;1
    1;-3
    moi je ne vois qu'une solution barbare : écrire A = P-1AP et résoudre le système à 8 inconnues !
    Pour ta dernière question, l'ordre n'a aucune importance.

  12. #9
    Le_Canard

    Re : Matrice de passage

    Je disais ça parce que je pensais à un exo sur lequel je bloquais aussi

    On a une matrice A =
    1 2 1
    1 1 0
    0 2 1

    dans la base canonique, et on nous demande si'il y a une base dans laquelle on peut ecrire la matrice

    1 0 2
    1 1 2
    0 1 1

  13. #10
    Ledescat

    Re : Matrice de passage

    Citation Envoyé par Le_Canard Voir le message
    Je disais ça parce que je pensais à un exo sur lequel je bloquais aussi

    On a une matrice A =
    1 2 1
    1 1 0
    0 2 1

    dans la base canonique, et on nous demande si'il y a une base dans laquelle on peut ecrire la matrice

    1 0 2
    1 1 2
    0 1 1
    Déjà même trace et même déterminant. Pas de contre-indication immédiate .
    Cogito ergo sum.

  14. #11
    haiecapique

    Re : Matrice de passage

    l'ordre n'a pas d'importance du moment que tu met la valeur de Z au meme niveau que vecteur calculer grace a cette valeur de Z.
    Sinon pour ton autre ex tu n'a qua suivre la manip que je t'ais expliqué, vu que j'ai fait comme si je ne connaissais pas la réponse.

  15. #12
    Le_Canard

    Re : Matrice de passage

    Pfiou j'avais vu juste, j'ai eu un exo de ce type à mon epreuve... J'ai bien fait de vous demander !

    Merci

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  17. #13
    nadya

    Re : Matrice de passage

    salut a ts;
    je peut vous demander une question? comment vous avez calculer la matrice diagonale de A .


    exemple:
    A=
    2 3
    0 -1

    det(A- ZI) = 0 <=> deteminant de
    2-Z 3
    0 -1-Z
    <=>(2-Z)(-1-Z)
    Z1=-1 Z2=2

    pour Z1 = -1
    (A-ZI)X = 0 devien
    3 3 x = 0
    0 0 y

    <=>x+y = 0
    le premier vecteur peut etre B1 =
    1
    -1
    par exemple

    de meme pour Z2:.... 3y=0
    B2 =
    1
    0

    diag de A:
    -1 0
    0 2


    pass de A
    1 1
    -1 0


    merci davance
    !!! nadya !!!

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