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Groupes de Lie



  1. #1
    Poisson manifolds

    Groupes de Lie


    ------

    Bonjour,
    C'est mon premier message, j'espère que je serai la bienvenue chez vous
    Je suis une débtante chercheur en maths (géométrie de Poisson), est mon domaine de recherche.
    Je voudrais savoir comment on retrouve un groupe de lie tout en yany l'algèbre de Lie explicitzement entre nos mains?
    Merci d'avance

    -----

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  4. #2
    rvz

    Re : Groupes de Lie

    Salut, et bienvenue,

    Je n'ai pas du bien comprendre la question, mais il me semble que l'exponentielle définit une application de l'algèbre de Lie sur la composante connexe de 0 du groupe de Lie (En fait, je crois me souvenir que sur un groupe de Lie, c'est quasiment la seule qui compte, à cause des propriétés de groupe).

    J'imagine que tu connais déjà les références absolues suivantes : Mneismé-Testard, Spivak.

    __
    rvz

  5. #3
    Gwyddon

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut, et bienvenue,

    Je n'ai pas du bien comprendre la question, mais il me semble que l'exponentielle définit une application de l'algèbre de Lie sur la composante connexe de 0 du groupe de Lie (En fait, je crois me souvenir que sur un groupe de Lie, c'est quasiment la seule qui compte, à cause des propriétés de groupe).

    Je te confirme ton "il semble", le lien algèbre<-> groupe via l'exponentiation se fait sur la composante connexe de 0 du groupe, et tous les développements infinitésimaux se font sur cette composante.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #4
    Poisson manifolds

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut, et bienvenue,

    Je n'ai pas du bien comprendre la question, mais il me semble que l'exponentielle définit une application de l'algèbre de Lie sur la composante connexe de 0 du groupe de Lie (En fait, je crois me souvenir que sur un groupe de Lie, c'est quasiment la seule qui compte, à cause des propriétés de groupe).

    J'imagine que tu connais déjà les références absolues suivantes : Mneismé-Testard, Spivak.

    __
    rvz
    merci beaucoup.
    Oui, je connais ces références. Je veux savoir comment à partir d'une algèbre de Lie , je peux déterminer la structure du groupe de Lie associé à cette algèbre.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Gwyddon

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par Poisson manifolds Voir le message
    merci beaucoup.
    Oui, je connais ces références. Je veux savoir comment à partir d'une algèbre de Lie , je peux déterminer la structure du groupe de Lie associé à cette algèbre.
    Bonsoir,

    Ce que tu demandes est à mon avis impossible, pour la simple raison que plusieurs groupes de Lies peuvent admettre la même algèbre de Lie. Un exemple très classique : SU(2) et SO(3) sont deux groupes de Lie admettant la même algèbre de Lie su(2)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. #6
    Poisson manifolds

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Bonsoir,

    Ce que tu demandes est à mon avis impossible, pour la simple raison que plusieurs groupes de Lies peuvent admettre la même algèbre de Lie. Un exemple très classique : SU(2) et SO(3) sont deux groupes de Lie admettant la même algèbre de Lie su(2)
    Oui, c'est vrai, mais il ya un seul groupe de lie connexe et simplement connexe associée à une algèbre de lie
    Comment alors tu expliques, le fait qu'on a trouvé les groupes de lie par exple de dimension 3 associés à chaque algèbre de lie de même dimension?
    Est-ce que tu me comprends mieux maintenant?

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  11. #7
    G13

    Re : Groupes de Lie

    Il y a la formule de Campbell-Hausdorff qui donne le resultat de la multiplication au voisinage de l'element neutre. Tu peux la trouver dans "Lie Algebras and Lie Groups" de Jean-Pierre Serre. Mais sinon pour trouver le groupe en entier, je ne sais pas.

  12. #8
    mtheory

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par Poisson manifolds Voir le message
    merci beaucoup.
    Oui, je connais ces références. Je veux savoir comment à partir d'une algèbre de Lie , je peux déterminer la structure du groupe de Lie associé à cette algèbre.
    N'étant pas mathématicien je vais probablement dire une bêtise mais si j'ai l'algèbre du groupe, j'ai les constantes de structure du groupes et donc en fait j'ai le groupe non ?

    C'est justement un théorème de Lie je crois que connaitre le groupe c'est connaitre son algèbre si je me souviens bien.


    Après bien sûr il y a des isomorphismes mais justement ce sont des isomorphismes alors où est le problème ?
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  13. #9
    Gwyddon

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par mtheory Voir le message
    C'est justement un théorème de Lie je crois que connaitre le groupe c'est connaitre son algèbre si je me souviens bien.
    Dans ce sens ça marche, mais pas dans l'autre sens comme je l'ai rappelé.

    Par contre il y a effectivement un unique groupe de Lie connexe et simplement connexe associé à une algèbre de Lie donnée (théorème de Cartan).

    La formule de Campbell-Hausdorff que rappelle G13 permet de remonter à la composante connexe de l'identité d'un groupe de Lie via l'algèbre de Lie donnée, ce qui montre bien que l'on ne décrit pas le groupe dans son ensemble.

    En fait, l'algèbre de Lie ne reproduit pas les notions topologiques globales des groupes de Lie, ce qui explique pourquoi l'on ne peut pas trouver un seul groupe de Lie associé à une algèbre de Lie sans imposer des restrictions topologiques de connexité et simple connexité.

    EDIT : au passage mtheory j'ai l'impression que tu confonds algèbre et groupe : les constantes de structure concerne l'algèbre de Lie, pas le groupe.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #10
    mtheory

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message

    EDIT : au passage mtheory j'ai l'impression que tu confonds algèbre et groupe : les constantes de structure concerne l'algèbre de Lie, pas le groupe.
    Oui, je comprends bien mais quand on parle de structure d'un groupe de Lie on fait référence aux constante de structure de son algèbre non ?

    La classification des groupes de Lie par Cartan et all c'est faite à partir des constantes de structures il me semble, et tu as toute une machinerie avec les diagrammes de dynkin qui intervient pour faire des constructions mais je sais/comprend peu de chose sur le sujet.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  15. #11
    mtheory

    Re : Groupes de Lie

    Ok, je vois ce que tu veux dire, wikipédia dit:

    Secondly the Lie algebra only determines uniquely the simply connected (universal) cover G* of the component containing the identity of a Lie group G. It may well happen that G* isn't actually a simple group, for example having a non-trivial center. We have therefore to worry about the global topology, by computing the fundamental group of G (an abelian group: a Lie group is an H-space). This was done by Élie Cartan.

    For an example, take the special orthogonal groups in even dimension. With the non-identity matrix −I in the center, these aren't actually simple groups; and having a two-fold spin cover, they aren't simply-connected either. They lie 'between' G* and G, in the notation above.
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  16. #12
    Gwyddon

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par mtheory Voir le message
    Oui, je comprends bien mais quand on parle de structure d'un groupe de Lie on fait référence aux constante de structure de son algèbre non ?
    Oui

    Mais il est bon de se rappeler que l'on parle de l'algèbre en définitive

    La classification des groupes de Lie par Cartan et all c'est faite à partir des constantes de structures il me semble, et tu as toute une machinerie avec les diagrammes de dynkin qui intervient pour faire des constructions mais je sais/comprend peu de chose sur le sujet.
    En fait c'est une classification des algèbres de Lie et non des groupes de Lie ; alors oui ça classifie en fait aussi les groupes de Lie d'une certaines manière, puisque à tout groupe de Lie est asocié un unique groupe de recouvrement universel d'une part, et que d'autre part tu regardes la composante connexe de l'élément neutre du groupe pour l'agèbre de Lie (ce qui fait que tu te ramènes aux hypothèses du théorème de Cartan que j'ai rappelé), mais tu loupes les propriétés topologiques globales dans l'histoire.


    Tout ça n'a pas tant d'importance que ça en physique puisque on travaille sur des représentations, et que l'on s'arrange toujours pour travailler sur des vraies représentations ce qui fait que l'on travaille sur le groupe de recouvrement universel pour éviter les représentations projectives, en plus on travaille près de l'identité avec les transfos infinitésimales ; mais il faut quand même parfois se rappeler des propriétés globales du groupe
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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  18. #13
    mtheory

    Re : Groupes de Lie

    Oui, ça me rappelle qu'il y a des truc avec les représentations spinorielles et qu'il y a des histoires d'obstuctions topologiques sur des variétés......
    “I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman

  19. #14
    Rincevent

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Tout ça n'a pas tant d'importance que ça en physique puisque on travaille sur des représentations, et que l'on s'arrange toujours pour travailler sur des vraies représentations ce qui fait que l'on travaille sur le groupe de recouvrement universel pour éviter les représentations projectives, en plus on travaille près de l'identité avec les transfos infinitésimales ; mais il faut quand même parfois se rappeler des propriétés globales du groupe
    [HS total] si, si, ça a de l'importance en physique (même si comme tu le dis c'est souvent négligé voire complètement ignoré) : y'a énormément de choses non locales (et liées à la topologie) qui apparaissent dans la physique moderne. Pour t'en convaincre, pense simplement au rôle de la topologie dans l'effet Bohm-Aharonov...

    par ailleurs, dans les théories de jauge, une fois que tu te places avec le point de vue (qui est le plus adapté) des espaces fibrés, la topologie globale de ces derniers change énormément de choses, par exemple pour les instantons (cruciaux en QCD pour ne pas citer de trucs plus spéculatifs et cordeux...).

    d'autre part, d'un point de vue "expérimental", la "véritable nature" du groupe de Lie impliqué dans une théorie des particules fondamentales dépend à la fois de l'algèbre mais aussi des représentations "qui existent dans la nature".

    Par exemple, on dit souvent que le groupe de la théorie électrofaible est SU(2)xU(1), mais c'est inexact... on peut le dire de l'algèbre, mais pour le groupe, il existe une symétrie supplémentaire résultant du fait que toute les particules sont telles que T_3 + Y est un entier. Au bout du compte, le vrai groupe de la théorie électrofaible est SU(2)XU(1)/Z2.

    De même, le groupe du modèle standard n'est pas SU(3)xSU(2)xU(1)... il est "réduit" par un facteur Z6 et est en fait (dans la limite des particules connues à ce jour) S(U(3)xU(2)). Or, cette différence, qui pourrait sembler anecdotique, est cruciale car ce dernier groupe est facilement généré à partir de SU(5) alors que le "groupe usuellement mentionné" ne l'est pas... d'où un "argument en plus" pour soutenir l'existence d'une "grande unification" aux plus hautes énergie...

    en clair, en physique des particules ça a de l'importance dès qu'on essaie d'aller au-delà du modèle standard, et dans la physique "pas des particules", la topologie des groupes de symétrie joue pas mal de rôles (j'ai pas parlé ici de tout ce qui est matière dense)[/HS total]
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  20. #15
    Poisson manifolds

    Re : Groupes de Lie

    Je tiens à remercier tous ceux qui ont participé à cette discussion. et toi en particulier g13.
    Je vais essayer de chercher cette formule dont tu parles et je te dirai quoi.
    Je précise que dans mon cas, j'avais établit des lagèbres de lie toutes de dimension 3 chacune est ismorphe aux algèbres de lie connues d'ordres3 et mon directeur de thèse, me demande de trouver les gpes de lie connexes et simplement connexes associés à chaque algèbres de lie de dimension 3 que j'avais trouvé( exple, j'ai trouvé par un exple une algèbre de lie isomorphe à celle associée au gpe d'heisenberg et je veux donc trouver le gpe de lie associé à cete algèbre que j'ai trouvé).Je sais pas si vous voyez maintenant mon souci?
    merci encore

  21. #16
    Poisson manifolds

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par G13 Voir le message
    Il y a la formule de Campbell-Hausdorff qui donne le resultat de la multiplication au voisinage de l'element neutre. Tu peux la trouver dans "Lie Algebras and Lie Groups" de Jean-Pierre Serre. Mais sinon pour trouver le groupe en entier, je ne sais pas.
    g13 es-tu matheux ou matheuse?

  22. #17
    Gwyddon

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    [HS total] si, si, ça a de l'importance en physique (même si comme tu le dis c'est souvent négligé voire complètement ignoré) : y'a énormément de choses non locales (et liées à la topologie) qui apparaissent dans la physique moderne. Pour t'en convaincre, pense simplement au rôle de la topologie dans l'effet Bohm-Aharonov...
    En fait j'ai donné l'impression que ça n'a pas d'importance mais je pense exactement comme toi bien sûr, car les effets de topologie globale sont très importants, je voulais juste signaler qu'en première approche on pouvait s'affranchir du groupe et ne parler que de l'algèbre, ce que l'on fait en parlant du Modèle Standard par exemple.

    Reste que tes précisions sont plus que bienvenues

    Je précise que dans mon cas, j'avais établit des lagèbres de lie toutes de dimension 3 chacune est ismorphe aux algèbres de lie connues d'ordres3 et mon directeur de thèse, me demande de trouver les gpes de lie connexes et simplement connexes associés à chaque algèbres de lie de dimension 3 que j'avais trouvé( exple, j'ai trouvé par un exple une algèbre de lie isomorphe à celle associée au gpe d'heisenberg et je veux donc trouver le gpe de lie associé à cete algèbre que j'ai trouvé).Je sais pas si vous voyez maintenant mon souci?
    merci encore
    Alors c'est la formule de Campbell-Haussdorf qu'il te faut, car si ton groupe est simplement connexe et connexe il n'y a aucun problème
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  23. #18
    Poisson manifolds

    Re : Groupes de Lie

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    En fait j'ai donné l'impression que ça n'a pas d'importance mais je pense exactement comme toi bien sûr, car les effets de topologie globale sont très importants, je voulais juste signaler qu'en première approche on pouvait s'affranchir du groupe et ne parler que de l'algèbre, ce que l'on fait en parlant du Modèle Standard par exemple.

    Reste que tes précisions sont plus que bienvenues



    Alors c'est la formule de Campbell-Haussdorf qu'il te faut, car si ton groupe est simplement connexe et connexe il n'y a aucun problème
    Je connais la formule mais je vois pas comment, je vais l'utiliser dans mon cas!
    Mon directeur de thèse, me dis il suffit d'expliciter à chaque fois le produit en fonction de l'algèbre de lie que j'ai!
    Je comprends pas trop ce qu'il me dit!je suis vraiment bloquée

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