Groupes/Algèbres de Lie

[invite6f044255]

Groupistes, groupistes, bien le bonjour!!

Je ne suis pas sur de savoir comment relier le caractère semi-simple ou simple d'une algèbre de Lie au fait que son groupe associé est un produit direct ou semi-direct.

Par exemple,
* SO(4,R)=(SO(3,R)xSO(3,R))/Z2 où "x" est le produit direct et Z2 le groupe à 2 éléments.
* so(4,R)=so(3,R)+so(3,R) où "+" est la somme directe.

Ainsi, est-ce que le fait que SO(4,R) soit un produit direct implique que son algèbre de Lie est semi-simple (car elle se décompose en somme directe d'algèbres de Lie simples)?

En général, quel est le lien entre ces deux propriétés?

Merci beaucoup pour votre aide.
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[invite4793db90]

Salut,

c'est cocasse, j'étais justement en ce moment dans le Reprentation theory de Fulton & Harris... Mais je n'ai pas la réponse à ta question, même en feuilletant les chapitres dans lesquels je ne me suis pas encore aventuré.

Désolé de te répondre par une question: si on a un groupe de Lie G qui est un produit, l'algèbre de Lie correspondante est toujours une somme directe?

Du reste, je continuerai à chercher demain.

Cordialement.

[invite6f044255]

Désolé de te répondre par une question: si on a un groupe de Lie G qui est un produit, l'algèbre de Lie correspondante est toujours une somme directe?

C'est bien l'impression que j'ai en ce moment.
Mais je ne connais pas de théorème le disant, pas plus que je ne connais de contre-exemples. Jusqu'à présent, c'est vrai pour tous les groupes de Lie que j'ai rencontrés.

Donc, en attente d'un plus sage que nous