bonsoir a tous...
je vous presente deux exos que je n'ai pas trouvé...
1)
soit f:[a,b] -> R continue,telle que pour tout k dans [0..n], integrale (t^k*f(t) dt) entre a et b = 0
montrer que f s'annule au moins n+1 fois sur ]a,b[
(j'ai essayé par l'absurde,mais je n'aboutis pas)
2)
determiner la limite en +infini et un equivalent de
a) integrale de 0 a 1 de (t^n)*f(t) sachant que j'ai la limite
b) integrale de 0 a 1 de t^n/(1+t^n) * f(t)
merci d'avance !!
Salut,
Pour le 1/, tu devrais essayer de le faire pour des petites valeurs de n, par exemple n=0 (très facile), n=1 (déjà un peu plus dur), n=2 (si tu sais faire ça, tu sais faire tous les cas).
Pour le 2/, utilise par exemple que f est bornée.
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rvz
Après réflexion, je pense qu'un indice supplémentaire peut être bienvenu.
Au lieu de considérer les zéros de f, regarde plutot le nombre de fois où elle change de signe. Après, je te laisse essayer de trouver un polynôme qui oscille en phase avec f.
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rvz
merci pour cette aide,cependant :
pour le 2 j'ai effectivement les limites grace au fait que f est bornée,mais les equivalents me laissent froid lol
pour le 1,j'ai assez de mal a visualiser la chose...je pense que le nombre de fois ou f change de signe et les points d'annulation de f,c'est un peu la meme chose car f est continue...mais je ne vois pas comment faire le lien avec l'intégrale donnée...(on pourrait la separer en fonction des points d'annulation de f,mais j'aboutis a rien...)
quelqu'un peut-il m'aider sur un des deux exercices ?
Re : Intégration
Envoyé par chococoo
Si f>= 0 , pas de problème. Sinon f=f+ - f- avec f+ >=0 et f- >=0
puis Int(t^k*f+)=Int(t^k*f-) (k+1 fois) ce qui exige f+ = f- puis f=0
pourquoi si f>=0 pa de probleme ? [a,b] est un segmant de Rpas forcément de R+
segment* désolé
Reprenons:
Pour le 2/ : Je n'avais pas vu équivalent. Cela dit, si tu fais un dessin de x^n, tu devrais t'apercevoir que ta fonction est très concentrée en 1, et donc on s'attend à ce que l'équivalent soit de la forme f(1)/n pour f(1) non nul. Si f est nul sur [a,1], alors c'est plus petit que a^n.
Enfin, si f(1) est nul, mais que f n'est pas nulle au voisinage de 1, j'imagine que ça va dépendre de la vitesse à laquelle f(x) tend vers 0 quand x tend vers 1. En gros, ce dernier cas, semble pourri pour les équivalents. Tu es sûr qu'il n'y a pas une hypothèse sur f ?
Edit : Du coup, je te suggère de découper l'intégrale au voisinage de 1 (par exemple sur (1-epsilon,1) et de regarder comment chaque bout évolue quand n-> infini.
Pour le 1/ : Tu as raison, le nombre de zéros et le nombre de fois où f change de signe, c'est presque pareil. Cela dit, il est plus facile de raisonner sur le signe de la fonction, et on sait qu'il y a plus de 0 que de changement de signes !
Ce que je prétends, c'est qu'avec les hypothèses que tu as, on peut démontrer facilement que f change de signe n+1 fois.
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rvz
Je te propose une piste pour le 1, mais je sais pas si c'est bon. Tu dois connaître le théorème suivant : soit g une fonction (numérique), positive et continue sur [a,b], alors pour tout:
Ici :
Après, je ne suis pas sûr. Est-ce-que k est fixé une fois pour toute, ou alors il faut prendre k pour chaque valeur 0,1,...n. En effet, dans ce dernier cas, on pourra, je pense, montrer que f s'annule au moins n+1 fois. Pour cela, on examine les cas où g est positive :
a) Pour tout k paire (k=0,2,4,...), (t^k)>0 . Pour les cas où f est négative, on ne peut rien dire. Mais pour les cas où f est positive, alors g est positive et on a :
Pour k=0,2,4,..., f s'annule. Combien de fois? Ca dépend de la parité de n. Si n est paire, c'est (n+2)/2; et si n est impair, c'est (n+1)/2.
b) Pour tout k impair (k=1,3,5,...), (t^k)<0, et de même on aura :
Pour k=1,3,5,..., f s'annule n/2 fois si n est pair, et (n+1)/2 fois si n est impair.
Résumons :
1) Si n est pair, f s'annule (n/2+1) + n/2 = n+1 fois pour tous les k de [0,...,n] (k pair et impair).
2) Si n est impair, f s'annule (n+1)/2 + (n+1)/2 = n+1 fois pour tous les k de [0,...,n].
Rajout : pour les k impair, j'ai oublié de prendre en compte les cas des t<0 ou t>0. Mais ca revient au même en fait, car c'est le signe général de g qui nous intéresse. Pour les t>0, on s'intéressera au f négatif, et pour les t>0, au f positif.
@zapple: Je n'ai pas compris ton argument. En tout cas, ça m'a l'air bien compliqué.
Regarde les points où f change de signe sur [a,b], et imagine qu'il n'y en a qu'un nombre fini <n+1, alors tu as
a<a1<... <an <b tels que f(ai) = 0 pour i dans {1,...n}.
Maintenant regarde
Alors g vérifie deux propriétés :
1/ g est de signe constant.
2/
Et évidemment, cela implique que g est nulle, et donc tu obtiens une contradiction.
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rvz
Pour résumer, j'essaie de me servir du théorème : si g est une fonction (numérique), positive et continue sur [a,b], alors pour tout
Pour cela, il faut donc trouver quand notre fonction
merci beaucoup a tous !
en fait j'etais parti sur la piste de rvz,et j'ai fait a peu pres ce que tu m'as décrit...
maintenant,pour le 1),la fonction est supposée continue sur [0,1]
j'ai finalement reussi a avoir le premier equivalent, en utilisant la continuité en 1 (j'ai trouvé f(1)/n),mais le deuxieme j'ai pas encore aboutit,mais je cherche !! (toute aide supplementaire est la bienvenue quand meme ^^)
@chococoo: Le deuxième équivalent ressemble à s'y méprendre au premier.
@zapple: Je ne comprends pas ton théorème. Il y a beaucoup trop de xIl y a un "pour tout x", un g(x) dx (donc celui là, je suppose qu'il ne bouge pas) et enfin il y a un g(x) = 0.
Bon, là j'avoue que je te charrie un peu, mais bon, fait attention à l'ordre des quantificateurs. Sinon, pour la preuve, je crois que j'ai déjà donné tous les éléments de réponse dans mon précédent message.
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rvz
