Une isométrie de R^4

[Bleyblue]

Bonjour,

J'ai la matrice orthogonale suivante :



Comme elle est de déterminant -1 il s'agit d'une antirotation, comme elle est symétrique elle est diagonalisable, comme la somme des valeurs propres est égale à la trace est égale à - 2 j'en déduis :

-2 = 1 - 1 - 1 - 1

Donc -1 est valeur propre de sous espace propre de dimension - 3 et de même 1 est valeur propre de sous-espace propre de dimension 1.

Pour déterminer les sous-espaces propres en question, existe-il une astuce (provenant du fait qu'il s'agit d'une isométrie) ou bien dois-je utiliser la méthode classique ?

merci
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[invited749d0b6]

En plus, il s'agit d'une matrice circulante. Donc les vecteurs propres sont
(1,1,1,1), (1,i,i^2,i^3), etc,...

[Bleyblue]

Ah, circulante ? Je n'ai jamais rencontré ce terme, peux-tu me dire ce qu'il siginifie ?

merci

[invite7fcbff32]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_circulante

Voilà ce qu'en pense wikipédia..

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah, intéressant ça.

Mais ça n'est n'est pas vraiment en rapport avec mon cours de géométrie.
Je voulais juste savoir s'il y avait moyen de calculer les vecteurs propres vite fait en se basant sur le fait que la matrice est celle d'une isométrie de

merci !

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Un truc parmi tant d'autres pour simplifier ton calcul. On sait que les espaces propres associés à des valeurs propres distinctes pour une matrice symétrique sont orthogonaux. Donc si tu peux calculer Ker(M-I), qui est de dimension 1, donc = Ker(u1), après tu peux en déduire Ker(M+I), et tu as même une équation de l'hyperplan associé : C'est simplement l'ensemble des v tels que (v,u1) = 0.

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rvz

[Bleyblue]

Oui juste bien vu !

Ok merci bien à tous