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Nombres imaginaires et levier mathématiques



  1. #1
    jokatriders

    Nombres imaginaires et levier mathématiques


    ------

    Je ne vois pas du tout de quoi l'on parle lorsque l'on énonce les "nombres imaginaires".

    On m'a filé un lien avec des schémas bizaroides en plus, qui sont sensé m'expliquer cette notion, mais cela n'arrange rien... On parle de "levier mathématiques"...

    Qu'est-ce ?

    -----

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  4. #2
    Stephen

    Re : Nombres imaginaires et levier mathématiques

    Citation Envoyé par jokatriders
    Je ne vois pas du tout de quoi l'on parle lorsque l'on énonce les "nombres imaginaires".
    Regarde les points du plan (x,y). Je te propose de les "multiplier" avec une définition de multiplication un peu particulière :

    (x,y)*(z,t) = (xz - yt,xt + yz)

    Par exemple, (2,3)*(1,2) = (2-5,6+3) = (-3,9)

    C'est bizarre, mais cela a un sens. Tu peux ainsi multiplier deux points du plan pour trouver un point du plan.

    Je peux aussi additionner deux points du plans comme je le fais d'habitude : (x,y) + (z,t) = (x+z,y+t)

    Maintenant regardons d'un peu plus près : si on multiplie n'importe quoi par (1,0), on retombe sur le truc de départ : (x,y)(1,0) = (x,y). Cet élément (1,0), je choisis de le noter par le signe 1, comme l'unité des réèls.Si on additionne (0,0) à n'importe quoi on retombe sur le truc de départ. Je choisis de noter 0 l'élément (0,0).

    Regardons mieux : l'élément (0,1) est particulier : quand je le multiplie avec lui-même, j'obtiens (-1,0) . Je décide de le noter i, et j'ai i^2 = -1 par ce que je viens de te faire remarquer.

    De plus, (x,y) = x(1,0) + y(0,1). Je peux ainsi noter tous les éléments de IR^2 de cette manière : (x,y) = x + iy. Quand je multiplies x+iy par z+it, je peux faire comme si je développais en considérant i comme un nombre :

    (x+iy)(z+it) = xz + iyz + ixt + i^2 yt = xz - yt + i(xt + yz) (rappelle toi que i^2 = -1).

    J'ai ainsi créé un ensemble de nombres qui ne sont pas les nombres usuels (mais qui les contiennent, il suffit de mettre le coefficient de i nul : tu retrouves les règles de calculs que tu connais).

    L'histoire de levier explique la chose suivante : quand tu multiplies (x,y) par i, en fait tu fais faire à (x,y) une rotation de 90° sur la gauche...

    Si tu fais un peu d'algèbre, tu verras qu'il s'agit de ce qu'on appelle un corps. Il a la particularité d'être algèbriquement clos (tout polynôme non constant y admet au moins une racine, par exemple x^2 + 1 admet i et -i comme racines), et comme tu l'as vu il contient IR comme sous-corps. Si tu fais un peu plus d'algèbres, tu verra comment montrer qu'on peut le contruire à l'aide d'une propriété universelle, comme quotient de l'anneau des polynomes IR[t] par l'idéal maximal engendré par t^2 + 1... mais tout ceci est une autre histoire.

  5. #3
    Boson_2_higgs

    simple & concis

    nombre imaginaires : comme leur nom l'indique ils ne sont pas réels , autrement dis ils ne sont pas définis dans l'ensemble R mais dans un nouvel ensemble C ( qui contient R par ailleurs ) , C pour complexes ...qui est leur nom général ..

    parmi ces nombres imaginaires , on a notament un nombre noté i qui est la base de tous les calculs dans C .

    ce nombre i est défini tel que : i² = -1 . cela est inconcevable et c'est pour cela que l'on le note i ...donc i = V-1 .

    si les mathématiques étaient la nuit , les nombres imaginaires seraient un rêve ...

  6. #4
    Quinto

    Re : Nombres imaginaires et levier mathématiques

    Ce nombre est totalement concevable, la preuve on le conçoit et i²=-1.

    Les nombres imaginaires portent mal leur nom, il ne sont pas moins réel que les nombres réels.
    D'ailleurs les nombres réels sont ils réels?

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  8. #5
    martini_bird

    Re : Nombres imaginaires et levier mathématiques

    Citation Envoyé par Quinto
    Ce nombre est totalement concevable, la preuve on le conçoit et i²=-1.

    Les nombres imaginaires portent mal leur nom, il ne sont pas moins réel que les nombres réels.
    D'ailleurs les nombres réels sont ils réels?
    Je suis en accord avec toi Quinto! D'ailleurs, beaucoup de choses sont passées sous silence en ce qui concerne les nombres réels!

    Sans vouloir étouffer la verve poétique de boson , la question renvoie en fait à la conception du nombre, de sa représentation et de son rapport au réel. Par exemple, le nombre 3 existe-t-il dans la nature? Avez-vous déjà croisé Môssieur 3 au supermarché? Ce que je veux dire, c'est que le nombre en tant qu'abstraction commune et utile - ce qui est commun à toutes les collections de... trois objets! (Trois pommes, trois poupées, tros euros, etc.) - n'existe pas ailleurs que dans nos cervelles! Pourquoi donc ne pas imaginer d'autres nombres, puisqu'ils ne représentent rien par eux-mêmes, mais par les relations auxquelles ils sont soumis?

    Ce point de départ formel (H. Hankel, 1867) fixe le début des mathématiques modernes.

  9. #6
    Quinto

    Re : Nombres imaginaires et levier mathématiques

    Citation Envoyé par martini_bird
    Je suis en accord avec toi Quinto!
    Tu ne peux pas ne pas l'etre, tu fais si je ne m'abuse de l'analyse complexe non? En tout cas un de tes premiers posts y faisait référence

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  11. #7
    martini_bird

    Re : Nombres imaginaires et levier mathématiques

    Citation Envoyé par Quinto
    Tu ne peux pas ne pas l'etre, tu fais si je ne m'abuse de l'analyse complexe non? En tout cas un de tes premiers posts y faisait référence
    Disons que l'analyse complexe rend bien des services, en témoigne la phrase d'Hadamard:
    << Le plus court chemin entre deux vérités mathématiques passe par le plan complexe.>>

    Malgré tout, n'oublions pas qu'il a fallu des siècles pour apprivoiser ces nombres dits "imaginaires"!

  12. #8
    Rincevent

    Re : Nombres imaginaires et levier mathématiques

    Citation Envoyé par martini_bird
    Ce que je veux dire, c'est que le nombre en tant qu'abstraction commune et utile - ce qui est commun à toutes les collections de... trois objets! (Trois pommes, trois poupées, tros euros, etc.) - n'existe pas ailleurs que dans nos cervelles! Pourquoi donc ne pas imaginer d'autres nombres, puisqu'ils ne représentent rien par eux-mêmes, mais par les relations auxquelles ils sont soumis?
    as-tu vu le fil sur "la nature et les maths" en philo ? à te lire je pense que si tu y intervenais ça pourrait rendre le débat encore plus intéressant...

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