Exercices sur les fonctions complexes

[invite3b107a53]

Bonjour,
J’ai quelques soucis avec deux exercices traitant des fonctions complexes :
1) Il faut montrer en appliquant la formule de Cauchy sur une ellipse centrée sur l’origine que
L’intégrale de 0 à 2pie de d(theta)/(a^2*sin^2(theta)+b^2*cos^2(th eta)) = 2pie/(a*b) a,b>0
J’ai essayé en posant z=exp(itheta), en faisant ce changement de variable , ou en linéarisant cos je suis bloqué..

2) Sur la formule de Poisson pour un disque :
Soit f une FH sur le disque (0,Ro),
Montrer que si R<Ro et z=rexp(itheta) avec r<R on a
a) f(z)=(1/2pie)*intégrale allant de 0 à 2pie de( f(Rexp(itheta))*Rexp(itheta) d(theta)/(Reitheta – rexp(iphi))
b) En déduire que : 0=(1/2pie)*intégrale allant de 0 à 2pie de( f(Rexp(itheta))*rexp(itheta) d(theta)/(Reitheta – rexp(iphi))
Obtenir ainsi :
c) f(z)= intégrale allant de 0 à 2pie de ( f(Rexp(itheta))*(R^2-r^2) d(theta)/(R^2-2Rrcos(theta-phi)+r^2))

Voilà, si quelqu’un peut me mettre sur la voie, je lui suis reconnaissant d’avance.

De plus, existe-t-il des sites avec exercices corrigés sur ce thème (cauchy,residus, fonction multiforme…)
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[invitea3eb043e]

Pour le premier exo, ça se simplifie bien si on pose tg(théta) = u en prenant quand même quelques précautions sur l'intervalle d'intégration.

[invite3b107a53]

Bonjour,
Je vous remercie pour votre conseil. Mais bien qu’ayant fait ce changement de variable ça ne m’aide pas plus. Vu qu’il faut utiliser la formule de Cauchy il faudrait simplifier l’équation pour avoir qqchose de la forme f(z)/z-a je ne vois pas comment faire…..
Personne pour cette démonstration de la formule de Poisson ?