Bonsoir tout le monde,
je voulais savoir si la principale différence (seule?) entre un corps commutatif et un groupe commutatif, c'est que pour qu'un ensemble soit un corps il n'est pas nécessaire qu'il existe l'inverse d'un élément de l'ensemble.
merci
Bonsoir,
Non ce n'est pas du tout ça, un corps est un ensembles C qui possède deux lois + et . telle que :
(C,+) soit un groupe commutatif
(Co,.) soit un groupe
(Co désigne l'ensemble des éléments non nuls de C c'est à dire C - le neutre pour la loi +)
et il faut aussi que :
a.(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc
pour tout a,b,c de C
Salut,
Il y a beaucoup de différences entre un corps et un groupe.
Déjà un corps est une structure avec deux lois (une additive et une multiplicative), tandis qu'un groupe est une structure avec une seule loi (additive ou multiplicative).
Dans un corps tous les élements sont inversibles pour l'addition (est un groupe), et tous les élements non nuls sont inversibles pour la multiplication (
Ah oui et pour un corps commutatif il faut aussi que la loi . soit commutative (et donc que (Co,.) soit un groupe commutatif)
Si j'ai bien compris,
si (V,+v,0v) est un groupe commutatif
et (V\0, .v, 0v) est un groupe commutatif
alors (V, .v,+v, 0v) est un corps commutatif.
Au faite, quand on dit, l'inverse dans l'addition, on suppose l'opposé (ex: pour l'addition, l'inverse de v est -v) ?
P.s: désolé pour ces questions qui peuvent paraitre bêtes, mais j'ai un peu de mal.
merci ^^
Oui sauf que le neutre multiplicatif n'est pas le même que le neutre additif. Si je me souviens bien on peut montrer que si le neutre additif coincide avec le neutre multiplicatif alors ton corps est trivial (c'est à dire réduit à un seul élément, pas fort intéressantSi j'ai bien compris,
si (V,+v,0v) est un groupe commutatif
et (V\0, .v, 0v) est un groupe commutatif
alors (V, .v,+v, 0v) est un corps commutatif.
)
Donc plutôt :
si (V,+v,0v) est un groupe commutatif
et (V\0, .v, 1v) est un groupe commutatif
alors (V, .v,+v, 0v,1v) est un corps commutatif.
Oui inverse et opposé c'est pareil (le terme opposé est souvent utilisé pour la loi + dans les ensembles de nombres je pense)Au faite, quand on dit, l'inverse dans l'addition, on suppose l'opposé (ex: pour l'addition, l'inverse de v est -v) ?
Ah elles ne sont pas bêtes du tout. Tout ceux qui ont un jour étudiés groupes et corps sont passés par là.P.s: désolé pour ces questions qui peuvent paraitre bêtes, mais j'ai un peu de mal.
N'hésite pas si autres questions
Je ne crois pas il faut que ces deux structures (V,+v,0v) et (V\0, .v, 0v) soient "compatibles".Envoyé par Galerians
c'est plutôt si
oui c'est ça, c'est la notion d'élément inverse qui peut être définie dans tout monoïdeAu faite, quand on dit, l'inverse dans l'addition, on suppose l'opposé (ex: pour l'addition, l'inverse de v est -v) ?
quand la loi est additive, on dit aussi élément opposé.
Merci pour vos réponses ça m'aide beaucoup.
Encore un petite question, pouvez-vous m'expliquer la différence du neutre additif et du neutre multiplicatif?
merci encore. ^^
C'est la même chose sauf que dans le 1er cas c'est pour la loi + et dans le second pour la loi .
Donc un neutre additif ici c'est un élément (qu'on note "0" par convention mais tu peux le noter "z" "W" ou "pomme" si tu préfères) tel que :
a + 0 = 0 + a = a pour tout a de l'ensemble
Un neutre multiplicatif c'est un élément (qu'on note "1" par convention mais que de nouveau tu peux appeler comme tu veux) tel que :
1.a = a.1 = a pour tout a de l'ensemble
Donc par exemple dans le corps
Merci beaucoup de ton aide, si j'ai d'autres questions j'hésiterais pas
bonne nuit ^^
