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Calcul intégral



  1. #1
    mehdi_128

    Calcul intégral


    ------

    Bonsoir,je bloque sur l'exo suivant:

    on a :


    Il faut calculer I2 par la méthode des résidus.

    -----
    Dernière modification par mehdi_128 ; 27/12/2007 à 20h07.

  2. #2
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Bonsoir,je bloque sur l'exo suivant:

    on a :


    Il faut calculer I2 par la méthode des résidus.


    Latex fait des truc bizarres :

    I2=int[0..Pi] [cos(nt)]/[1-2acos(t)+a^2]

    On pourra intégrer z^n /[z-a][z-1/a] le long du cercle unité .....

  3. #3
    MiMoiMolette

    Re : Calcul intégral

    Salut,

    Pour le latex c'est normal, c'est parce que tu n'as pas séparé le a du cos et il prend ça comme étant l'arccos.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  4. #4
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Salut,

    Pour le latex c'est normal, c'est parce que tu n'as pas séparé le a du cos et il prend ça comme étant l'arccos.
    Et purquoi ca me met Pi au lieu du vrai pi?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    MiMoiMolette

    Re : Calcul intégral

    Il faut mettre \pi je crois

    Par contre, pour l'intégrale elle-même, je ne peux pas t'aider :/ les résidus tout ça, je fais un blocage à chaque fois
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  7. #6
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    Il faut mettre \pi je crois

    Par contre, pour l'intégrale elle-même, je ne peux pas t'aider :/ les résidus tout ça, je fais un blocage à chaque fois
    Pourquoi fais-tu un blocage ?

  8. #7
    zoup1

    Re : Calcul intégral



    \displaystyle I_2=\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(n t)}{1-2a\cos(t)+a^2} dt
    Dernière modification par zoup1 ; 27/12/2007 à 21h07.
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  9. #8
    MiMoiMolette

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Pourquoi fais-tu un blocage ?
    Parce que je sais jamais ce que ça veut dire

    M'est avis que tu devrais factoriser le dénominateur (1=cos²+sin²)...mais bon, stune suggestion comme ça
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  10. #9
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par zoup1 Voir le message


    \displaystyle I_2=\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(n t)}{1-2a\cos(t)+a^2} dt
    Merci pour la correction :

    Il y a une indication:

    On pourra calculer le long du cercle unité:


  11. #10
    Kix

    Re : Calcul intégral

    salut,
    Tu pourrais remarquer que (a-exp(it))(a-exp(-it))=a²-2acos(t)+1

  12. #11
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par Kix Voir le message
    salut,
    Tu pourrais remarquer que (a-exp(it))(a-exp(-it))=a²-2acos(t)+1
    Ah oui exact bien vu merci .....

  13. #12
    zapple

    Re : Calcul intégral

    En général, le calcul d'une intégrale du type R(cost, sint), où R( x, y) est une fonction rationnelle des deux variables réelles x, y, définie sur la circonférence x²+y²=1, par la méthode des résidus se fait en posant . Puis utilise la formule .

  14. #13
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par zapple Voir le message
    En général, le calcul d'une intégrale du type R(cost, sint), où R( x, y) est une fonction rationnelle des deux variables réelles x, y, définie sur la circonférence x²+y²=1, par la méthode des résidus se fait en posant . Puis utilise la formule .
    J'ai remarqué que:



    donc :




    en effectuant le changement de variable:

    Dernière modification par mehdi_128 ; 28/12/2007 à 12h43.

  15. #14
    zapple

    Re : Calcul intégral

    Dans ton intérale de départ, ce n'était pas ?

  16. #15
    MiMoiMolette

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par zapple Voir le message
    Dans ton intérale de départ, ce n'était pas ?
    a*cos

    une erreur de latex
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  17. #16
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    ensuite j'utiliserai bien le théorème des résidus :

    3 poles a ,1/a et 0

  18. #17
    zapple

    Re : Calcul intégral

    Je n'ai pas fait le calcul, mais cependant tu dois considérer les pôles appartenant au disque unité |z|<1 vu qu'on intègre sur la circonférence x²+y²=1. Il faut donc considérer les cas |a|<1, |a|>1. Pour |a|<1, on aura que la somme de résidus avec le pole a et zéro, pour |a|>1, ce sera la somme de résidus avec le pole 1/a et zéro.
    Dernière modification par zapple ; 28/12/2007 à 14h47.

  19. #18
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par zapple Voir le message
    Je n'ai pas fait le calcul, mais cependant tu dois considérer les pôles appartenant au disque unité |z|<1 vu qu'on intègre sur la circonférence x²+y²=1. Il faut donc considérer les cas |a|<1, |a|>1. Pour |a|<1, on aura que la somme de résidus avec le pole a et zéro, pour |a|>1, ce sera la somme de résidus avec le pole 1/a et zéro.
    le pole 0 n'y est plus car:

    a-1/z = (az-1)/z

    d'ou :f(z)= [z^n+ z^(-n)]/ (az-1)(a-z)


    es-tu d'accord ?

  20. #19
    zapple

    Re : Calcul intégral

    Ben je n'ai pas fais le calcul, mais d'apres ta réponse, il y aurait 3 poles dont le zéro, et zéro appartient bien au disque |z|<1.

  21. #20
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par zapple Voir le message
    Ben je n'ai pas fais le calcul, mais d'apres ta réponse, il y aurait 3 poles dont le zéro, et zéro appartient bien au disque |z|<1.
    0 est une singularité artificielle puisque l'on peut simplifier par z au dénominateur en faisant apparaitre du z/z

    Au début j'avais mis 0 en pole mais quand je voulais calculer le résidu j'avais du 1/0 !

  22. #21
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    0 est une singularité artificielle puisque l'on peut simplifier par z au dénominateur en faisant apparaitre du z/z

    Au début j'avais mis 0 en pole mais quand je voulais calculer le résidu j'avais du 1/0 !


    De plus j'ai calculé:





  23. #22
    ericcc

    Re : Calcul intégral

    Attention quand même au cas a=1 ....

  24. #23
    zapple

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message


    De plus j'ai calculé:




    Oki, je te fais confiance pour le calcul. Dans ce cas, le calcul des résidus est encore simplifiée. Pour le cas a=1, je pense qu'il est implicitement supposé que a est différent de 1.

  25. #24
    mehdi_128

    Re : Calcul intégral

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Attention quand même au cas a=1 ....
    Dans l'énoncé on précise: abs(a) différent de 1....

    1er cas: si abs(a)<1 alors abs(1/a)>1

    l'indice de a vaut 1 celui de 1/a vaut 0 j'obtiens:



    Pour le 2eme cas j'obtiens la meme chose avec un signe moins ....

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