Calcul intégral

**mehdi_128** · 27/12/2007, 21h04

Bonsoir,je bloque sur l'exo suivant:

on a : $\text{[math]}$

Il faut calculer I2 par la méthode des résidus.

**mehdi_128** · 27/12/2007, 21h17

Envoyé par mehdi_128

Bonsoir,je bloque sur l'exo suivant:

on a : $\text{[math]}$

Il faut calculer I2 par la méthode des résidus.

Latex fait des truc bizarres :

I2=int[0..Pi] [cos(nt)]/[1-2acos(t)+a^2]

On pourra intégrer z^n /[z-a][z-1/a] le long du cercle unité .....

**invite1237a629** · 27/12/2007, 21h24

Salut,

Pour le latex c'est normal, c'est parce que tu n'as pas séparé le a du cos et il prend ça comme étant l'arccos.

**mehdi_128** · 27/12/2007, 21h34

Envoyé par MiMoiMolette

Salut,

Pour le latex c'est normal, c'est parce que tu n'as pas séparé le a du cos et il prend ça comme étant l'arccos.

Et purquoi ca me met Pi au lieu du vrai pi?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invite1237a629** · 27/12/2007, 21h40

Il faut mettre \pi je crois

Par contre, pour l'intégrale elle-même, je ne peux pas t'aider :/ les résidus tout ça, je fais un blocage à chaque fois

**mehdi_128** · 27/12/2007, 21h56

Envoyé par MiMoiMolette

Il faut mettre \pi je crois

Par contre, pour l'intégrale elle-même, je ne peux pas t'aider :/ les résidus tout ça, je fais un blocage à chaque fois

Pourquoi fais-tu un blocage ?

**zoup1** · 27/12/2007, 22h02

$\text{[math]}$

\displaystyle I_2=\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(n t)}{1-2a\cos(t)+a^2} dt

**invite1237a629** · 27/12/2007, 22h07

Envoyé par mehdi_128

Pourquoi fais-tu un blocage ?

Parce que je sais jamais ce que ça veut dire

M'est avis que tu devrais factoriser le dénominateur (1=cos²+sin²)...mais bon, stune suggestion comme ça

**mehdi_128** · 27/12/2007, 22h11

Envoyé par zoup1

$\text{[math]}$

\displaystyle I_2=\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(n t)}{1-2a\cos(t)+a^2} dt

Merci pour la correction :

Il y a une indication:

On pourra calculer le long du cercle unité:

$\text{[math]}$

invite2c2620e2 · 28/12/2007, 03h54

salut,
Tu pourrais remarquer que (a-exp(it))(a-exp(-it))=a²-2acos(t)+1

**mehdi_128** · 28/12/2007, 11h49

Envoyé par Kix

salut,
Tu pourrais remarquer que (a-exp(it))(a-exp(-it))=a²-2acos(t)+1

Ah oui exact bien vu merci .....

invitebfbf094d · 28/12/2007, 12h40

En général, le calcul d'une intégrale du type R(cost, sint), où R( x, y) est une fonction rationnelle des deux variables réelles x, y, définie sur la circonférence x²+y²=1, par la méthode des résidus se fait en posant $\text{[math]}$ . Puis utilise la formule $\text{[math]}$ .

**mehdi_128** · 28/12/2007, 13h39

Envoyé par zapple

En général, le calcul d'une intégrale du type R(cost, sint), où R( x, y) est une fonction rationnelle des deux variables réelles x, y, définie sur la circonférence x²+y²=1, par la méthode des résidus se fait en posant $\text{[math]}$ . Puis utilise la formule $\text{[math]}$ .

J'ai remarqué que:

$\text{[math]}$

donc :

$\text{[math]}$

en effectuant le changement de variable:

$\text{[math]}$

invitebfbf094d · 28/12/2007, 14h21

Dans ton intérale de départ, ce n'était pas $\text{[math]}$ ?

**invite1237a629** · 28/12/2007, 14h49

Envoyé par zapple

Dans ton intérale de départ, ce n'était pas $\text{[math]}$ ?

a*cos

une erreur de latex

**mehdi_128** · 28/12/2007, 15h05

ensuite j'utiliserai bien le théorème des résidus :

3 poles a ,1/a et 0

invitebfbf094d · 28/12/2007, 15h42

Je n'ai pas fait le calcul, mais cependant tu dois considérer les pôles appartenant au disque unité |z|<1 vu qu'on intègre sur la circonférence x²+y²=1. Il faut donc considérer les cas |a|<1, |a|>1. Pour |a|<1, on aura que la somme de résidus avec le pole a et zéro, pour |a|>1, ce sera la somme de résidus avec le pole 1/a et zéro.

**mehdi_128** · 28/12/2007, 16h10

Envoyé par zapple

Je n'ai pas fait le calcul, mais cependant tu dois considérer les pôles appartenant au disque unité |z|<1 vu qu'on intègre sur la circonférence x²+y²=1. Il faut donc considérer les cas |a|<1, |a|>1. Pour |a|<1, on aura que la somme de résidus avec le pole a et zéro, pour |a|>1, ce sera la somme de résidus avec le pole 1/a et zéro.

le pole 0 n'y est plus car:

a-1/z = (az-1)/z

d'ou :f(z)= [z^n+ z^(-n)]/ (az-1)(a-z)

es-tu d'accord ?

invitebfbf094d · 28/12/2007, 16h13

Ben je n'ai pas fais le calcul, mais d'apres ta réponse, il y aurait 3 poles dont le zéro, et zéro appartient bien au disque |z|<1.

**mehdi_128** · 28/12/2007, 16h21

Envoyé par zapple

Ben je n'ai pas fais le calcul, mais d'apres ta réponse, il y aurait 3 poles dont le zéro, et zéro appartient bien au disque |z|<1.

0 est une singularité artificielle puisque l'on peut simplifier par z au dénominateur en faisant apparaitre du z/z

Au début j'avais mis 0 en pole mais quand je voulais calculer le résidu j'avais du 1/0 !

**mehdi_128** · 28/12/2007, 16h23

Envoyé par mehdi_128

0 est une singularité artificielle puisque l'on peut simplifier par z au dénominateur en faisant apparaitre du z/z

Au début j'avais mis 0 en pole mais quand je voulais calculer le résidu j'avais du 1/0 !

$\text{[math]}$

De plus j'ai calculé:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

inviteaf1870ed · 28/12/2007, 16h30

Attention quand même au cas a=1 ....

invitebfbf094d · 28/12/2007, 16h33

Envoyé par mehdi_128

$\text{[math]}$

De plus j'ai calculé:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Oki, je te fais confiance pour le calcul. Dans ce cas, le calcul des résidus est encore simplifiée. Pour le cas a=1, je pense qu'il est implicitement supposé que a est différent de 1.

**mehdi_128** · 28/12/2007, 16h36

Envoyé par ericcc

Attention quand même au cas a=1 ....

Dans l'énoncé on précise: abs(a) différent de 1....

1er cas: si abs(a)<1 alors abs(1/a)>1

l'indice de a vaut 1 celui de 1/a vaut 0 j'obtiens:

$\text{[math]}$

Pour le 2eme cas j'obtiens la meme chose avec un signe moins ....

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