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Problème de calcul intégral



  1. #1
    Witten

    Problème de calcul intégral


    ------

    Bonjour,

    J'essaye d'apprendre le calcul intégral, j'ai commencé par apprendre a calculé une dérivée, et j'ai compris ce qu'est une primitive d'une fonction (une primitive d'une fonction f(x) est une fonction dont la dérivée est égale a f(x), si j'ai bien saisi).

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : Problème de calcul intégral

    Quelle est ta question exactement ?
    Tu veux de l'aide sur le calcul intégral ?
    Maîtrises-tu bien les dérivées déjà ?

  4. #3
    Witten

    Re : Problème de calcul intégral

    Desolé mais j'ai pris trop de temps à écrire et puis j'ai voulu editer et j'ai encore pris trop de temps, c'est pourquoi la question n'est pas términée.
    Je ne comprend pas pourquoi la valeur d'une intégrale sur [a,b] (donc l'air sous la courbe) est égale à F(b)-F(a).
    J'ai déjà trouvé plein de sites, mais je ne comprend pas.

    Merci de votre aide.

  5. #4
    Witten

    Re : Problème de calcul intégral

    Peut être que je dois encore approfondir mes connaissances sur les dérivées et sur le calcul différentiel. Est-ce que quelqu'un connaitrait un bon site ou un bon livre de préférence???

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    g_h

    Re : Problème de calcul intégral

    Oui, il manque un bout à ton message !

    Et puis en effet, il vaut mieux bien maitriser la dérivation avant de te lancer : fonctions usuelles, produits, quotients, composées... autant de choses à savoir par coeur.
    Puis comprendre ce que c'est aussi... question test : comment justifies-tu que la dérivée de x -> 3x2 + 5x - 3 est x -> 6x + 5, sans utiliser les formules de dérivation ?

  8. #6
    zoup1

    Re : Problème de calcul intégral

    Citation Envoyé par g_h
    comment justifies-tu que la dérivée de x -> 3x2 + 5x - 3 est x -> 6x + 5, sans utiliser les formules de dérivation ?
    Ben, je sais pas !!!!
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

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  10. #7
    Gwyddon

    Re : Problème de calcul intégral

    par définition,

    je vous laisse conclure quand à la dérivée d'un polynôme
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  11. #8
    zoup1

    Re : Problème de calcul intégral

    Alors, si c'est cela la réponse alors je sais faire, ouf!!!
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  12. #9
    Sephi

    Re : Problème de calcul intégral

    La dérivée, c'est la limite du quotien différentiel.





    PS : Erf, je sais pas pourquoi y a des <br/> dans mon code latex >_<
    Dernière modification par Sephi ; 24/03/2005 à 23h33.

  13. #10
    zoup1

    Re : Problème de calcul intégral

    Citation Envoyé par Sephi
    La dérivée, c'est la limite du quotien différentiel.



    Dans le Latex du forum, il ne faut pas qu'il y ait de passage à la ligne car alors cela rajoute d'affreux </BR> dans le texte
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  14. #11
    Sephi

    Re : Problème de calcul intégral

    Ha mince ... pourtant dans ton quote, les <br/> ont disparu :/ Comment utiliser un environnement de type eqnarray alors ?

  15. #12
    g_h

    Re : Problème de calcul intégral

    Oui c'est bien à ça que je pensais, c'est l'application bête et méchante de la définition du nombre dérivé...

    Witten> et c'est de cette façon que tu peux parfois justifier la dérivabilité d'une fonction en un point, quand l'abscisse de ce point n'est pas dans l'ensemble de définition de la fonction dérivée

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  17. #13
    Sephi

    Re : Problème de calcul intégral

    Deuxième essai :



    Ça marche !

  18. #14
    Witten

    Re : Problème de calcul intégral

    Bonjour,

    g_h, je sais calculer la dérivée 3x²+5x-3, sois j'utilise le tableau directement (la dérivée d'un pôlynome ax²+bx+c est 2ax+b), sois j'aurais fait le calcul de Sephi, qua j'ai déjà partiqué une bonne dizaine de fois avec diverses fonctions.
    Mais cela ne répond pas à ma question pourquoi la valeur d'une intégrale d'une fonction f(x) sur l'interval [a,b] est égale a F(b)-F(a).

    J'ai du louper une passage important en passant du calcul différentiel au calcul intégral.

    Quelqu'un ne connaîtrait-il pas un bon livre sur le calcul differentiel + intégral (cours + exercices corrigés).

    Merci pour votre aide.

  19. #15
    matthias

    Re : Problème de calcul intégral

    La manière la plus simple de comprendre la relation entre intégrale et aire est probablement de regarder le calcul de valeur approchée d'une intégrale par la méthode des rectangles (ou trapèzes). Je pense que tu trouveras très facilement des liens là-dessus. Avec un petit graphique, ça devient évident.

  20. #16
    Gwyddon

    Re : Problème de calcul intégral

    je tente une réponse (mais qui est un peu "le serpent se mord la queue" ) :

    tu dis que l'on t'a introduit une primitive de f sur un intervalle I comme étant une fonction qui, si on la dérive, redonne f. Tu te rends donc bien compte que f admet une infinité de primitives sur I (qui diffèrent toutes d'une constante). Si on note F la primitive de f s'annulant en 0, il y a par contre unicité (tu viens de déterminer la valeur de cette constante).

    Plus précisément :

    On a donc et

    Maintenant on fait la différence :

    Si tu connais la relation de Chasles, qui te dis que

    Alors ici on a

    Maintenant, pour mieux comprendre pourquoi F(b)-F(a) (donc l'intégrale de f sur [a;b] ) te donne l'aire sous la courbe (pour une fonction positive !) il te faut, comme le dit matthias, utiliser la méthode des rectangles où tu te rends compte que l'intégrale de f sur [a;b] constitue la limite de l'aire des rectangles quand on prend la subdivision en rectangle de plus en plus fine.
    Dernière modification par Gwyddon ; 25/03/2005 à 14h49. Motif: tex
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  21. #17
    Witten

    Re : Problème de calcul intégral

    Merci beaucoup 09Jul85 pour ta demonstration. Je crois que je viens de plus ou moins comprendre (petit déclique). J'ai bien compris ta demonstration, se qui m'aide surtout c'est que la primitive F(x) soit égale à l'intégral de 0 à x de la fonction f(x). La seul chose que je ne comprend pas encore tous à fait c'est le rapport de la primitive avec l'air delimité par f(x) et l'axe des abcisse.
    Je vais encore cherché des intérpretations graphique.

    D'ailleurs j'ai trouvé de meilleurs sites en cherchant avec "calcul intégral méthode trapèze" qu'avec "calcul intégral".

    Si vous avez un bon site avec des intérpretations graphiques donnez moi l'adresse. Sinon je crois pouvoir m'en sortir seul maintenant.

  22. #18
    matthias

    Re : Problème de calcul intégral

    Citation Envoyé par Witten
    D'ailleurs j'ai trouvé de meilleurs sites en cherchant avec "calcul intégral méthode trapèze" qu'avec "calcul intégral".
    Oui c'est normal. La méthode des trapèzes est presque toujours accompagnée d'un graphique, alors que dans les cours poussés sur le calcul intégral, que ce soit côté Riemann ou côté Lebesgue, on a tendance à théoriser à fond en supposant que les notions plus ou moins intuitives vues en Terminale sont acquises.
    Si on commençait les cours sur les intégrales avec la convergence des sommes de Darbout, ça ne relèverait probablement le niveau général en maths

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  24. #19
    evariste_galois

    Re : Problème de calcul intégral

    Bon je vais essayer de donner une "interprétation" de ce fameux lien entre l'intégrale d'une fonction et sa fonction primitive.
    Tout ce que je vais écrire n'est absolument pas rigoureux, donc c'est à prendre avec des (énormes!) pincettes.

    Considérant la notion de primitive d'une fonction, on peut dire que f(x) est une primitive de f'(x), ou comme le note les physiciens .

    Qu'est-ce qu'intégrer? c'est dans une certaine mesure calculer l'aire sous la courbe de f (pour les fonctions positives), donc sommer continuement le produit de f(x) par un accroissement de x aussi petit que l'on veut (notons le dx justement!) pour toutes les valeurs de x prise sur l'intervalle donné .

    Donc, calculer l'air qu'il y a sous la courbe de reviens à sommer continuement le produit de par dx, c'est-à-dire après simplification, sommer continuer df sur un intervalle donné (par exemple [a;b]).

    Mais finalement, sommer des petits accroissements de f, i.e df, sur un intervalle [a;b] donne bien la valeur de f entre a et b, c'est-à-dire f(b)-f(a) .

    Pour résumer, on a:

    dx = df = f(b)-f(a) .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  25. #20
    Witten

    Re : Problème de calcul intégral

    Merci evariste_galois, je viens de comprendre. Se que tu as dit a justement completé se qui me manquait dans les explications de 09jul85.
    Je me suis fait un exemple moi même : Si on prend x², sa dérivée est 2x, donc une primitive de 2x est x². Et si on essaye : l'intégral de a à b de 2x est égale à F(b)-F(a) = 1²-0²=1, donc sa marche.
    Maintenant j'ai compris.

    Merci

  26. #21
    Gwyddon

    Re : Problème de calcul intégral

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Bon je vais essayer de donner une "interprétation" de ce fameux lien entre l'intégrale d'une fonction et sa fonction primitive.
    Tout ce que je vais écrire n'est absolument pas rigoureux, donc c'est à prendre avec des (énormes!) pincettes.
    par rigoureux peut-être, mais terriblement pédagogique
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  27. #22
    Witten

    Re : Problème de calcul intégral

    Citation Envoyé par Witten
    Et si on essaye : l'intégral de a à b de 2x est égale à F(b)-F(a) = 1²-0²=1, donc sa marche.
    Je me suis trompé, je voulais dire :
    Et si on essaye : l'intégral de 0 à 1 de 2x est égale à F(b)-F(a) =b²-a²=1²-0²=1, donc sa marche.
    Car sans intégrale je sais calculer que l'air sous 2x sur l'interval [0,1] est égal à (0+2)/2=1.
    J'ai essayé pour differentes valeurs, sa marche.

  28. #23
    roll

    Re : Problème de calcul intégral

    Tiens ça devrai t'interresser:
    http://www.dms.umontreal.ca/~giroux/

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