[Alg] Décomposition de Dunford

[inviteaeeb6d8b]

Bonsoir bonsoir

Je cherche confirmation pour la décomposition de Dunford :

E est un K-ev
J'ai un endomorphisme f tel que P_f (son poly caractéristique) est scindé.
Par exemple P_f = (X-a)(X-b)²(X-c)...

J'ai alors que E = Ker(X-a) + Ker(X-b)² + Ker(X-c) + ...
(c'est une somme directe)

Je cherche une base de chacun de ces espaces, et on a de manière générale : dim Ker(X-q)^p = p

Ce qui me permet d'obtenir une base de E telle que ma matrice soit diagonale par blocs.

J'écris alors chaque bloc (ici le bloc associé à la valeur propre q) : D_q+N_q où D_q=q Id et N_q = bloc - D_q

Et ainsi j'obtiens la décomposition de la matrice en D+N.

J'ai bon ?

(je reviendrai demain pour la décomposition de N en blocs de Jordan ! )
Merci beaucoup


Romain
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[invite4ef352d8]

Oui, c'est juste.

ceci dit il existe en géneral des methodes beaucoup plus efficace que cela, voir meme des methode qui ne neccesite meme pas de factoriser le polynome charactéristique.

[inviteaeeb6d8b]

Je te remercie

Tu me parles d'autres méthodes permettant d'obtenir le couple D, N ?

[invite4ef352d8]

ba y a toujour celle ci, extrement efficace, mais pas simple à utiliser à la main : http://perso.univ-rennes1.fr/daniel....d.effectif.pdf


sinon on peut souvent s'en sortir sur des cas concret en "bidouillant" à la main pour trouver le polynome P telle que D=P(M), mais la il y a pas de méthode général.

apres j'ai quasiement jammais calculé de décomposition de dunford à la main... donc je serais pas trop de dire comment il faut faire "en pratique" ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Merci !

Je me suis retrouvé bête tout à l'heure, en faisant un exo dans lequel on me demandait de décomposait en D+N "à la main"
J'ai essayé le bidouillage mais... mouaif, sur mon exo, j'ai pas trouvé.

[invite4ef352d8]

qu'elle était la matrice ?

[inviteaeeb6d8b]

Je l'ai plus en tête, mais c'était du 4x4 avec de jolis coefficients

[inviteaeeb6d8b]

J'ai un petit problème dans une décomposition de Dunford+Jordan : il me semble qu'il y ait une légère erreur d'énoncé :

J'ai un endomorphisme de R⁴

Son poly min : U_f = X (X-1)²

J'en déduis que son poly caractéristique est scindé (il sera du type : X(X-1)²(X-a) donc on va pouvoir Dunfordiser)

Question :
déterminer une base de R⁴ qui soit réunion des bases des espaces ker(f) et ker(f-Id)²

or : ker(f-Id)² est de dimension 2 (à la vue du polynôme minimal)
et ker(f) est de dimension 1

Dois-je en déduire une erreur d'énoncé ?

merci !

Romain

[invite4ef352d8]

non il y pas d'erreur, le lemne des noyaux nous dit que :

R^4 = Ker f(f-1)²=kerf + ker(f-1)² (somme direct)

donc une telle base existe bien. (note que le "a" que tu ecrit dans le polynome charactérisitque est neccessairement 0 ou 1... )