Normes et distances et équivalence topologique

[invitee75a2d43]

bonjour,

je lis dans mon cours, le théorème suivant:

Dans un espace vectoriel normé, deux normes sont équivalentes ssi elles sont topologiquement équivalentes.

Et je sais que dans un espace métrique on a l´implication:

Deux distances équivalentes définissent la même topologie, sont donc topologiquement équivalentes.

Pour les normes, on a équivalence, pour les distance une simple implication. J´en déduit que si deux normes sont équivalentes, les distances associées ne le sont pas forcément?

Me goure-je?

Merci d´avance.

christophe
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[invite769a1844]

bonjour,

je lis dans mon cours, le théorème suivant:

Dans un espace vectoriel normé, deux normes sont équivalentes ssi elles sont topologiquement équivalentes.

Et je sais que dans un espace métrique on a l´implication:

Deux distances équivalentes définissent la même topologie, sont donc topologiquement équivalentes.

Pour les normes, on a équivalence, pour les distance une simple implication. J´en déduit que si deux normes sont équivalentes, les distances associées ne le sont pas forcément?

Me goure-je?

Merci d´avance.

christophe

Salut,

oui tu te goures.

Mais si tu as deux distances topologiquement équivalentes, mais non équivalentes dans un evn et que l'une des deux est induite par une norme, alors l'autre ne sera pas induite par une norme.

Exemple: sur IR: et

[invitee75a2d43]

ah oui je vois la nuance, merci