Probabilités, indépendance, covariance

[invitebb921944]

Bonjour !
J'ai quelques soucis en probabilités.

On note Xk le numéro du panier où tombe la k-ième balle (on jette successivement des balles dans des paniers numérotés).
(Xk) suite indépendante patati patata de loi commune (pj).
(pj probabilité de tomber dans le panier numéroté j)

On note Zn(j) le nombre de balles tombées dans le panier numéro j après n lancer.
Donc Zn(j)=somme 1{Xk=j} pour k variant de 1 à n (le 1{Xk=j} désigne la fonction indicatrice qui vaut 1 lorsque Xk=j}

1) Montrer que pour tout j>=1, les v.a. (1{Xk=j}) pour k>=1 sont indépendantes équidistribuées.

Alors là ya un truc qui me chiffonne.
J'aurai tendance à montrer que P(1{Xu=j}=x;1{Xv=j}=y) (x et y à valeurs dans {0,1}) est égal au produit des deux probabilités.
Le problème est que je suis obligé de séparer les cas et je trouve ça assez lourd.
Du genre :

P(1{Xu=j}=0;1{Xv=j}=0)=P(Xu différent de j; Xv différent de j)=P(Xu différent de j)P(Xv différent de j)=P(1{Xu=j}=0)P(1{Xv=j}=0)

P(1{Xu=j}=1;1{Xv=j}=1)=P(Xu=j; Xv=j)=P(Xu=j)P(Xv=j)=P(1{Xu=j} =1)P(1{Xv=j}=1)

Reste encore les deux autres cas : (0,1) et (1,0) qui sont symétriques, donc on peut n'en faire qu'un seul.

Bon en gros ca me parait juste mais long alors je me demande si c'est la bonne méthode ou pas.

2) Préciser leur loi commune, leur esperance et leur variance

P(1{Xk=j}=0)=1-pj
P(1{Xk=j}=1)=pj

E[1{Xk=j}]=pj

V(1{Xk=j})=E[1{Xk=j}²]-E[1{Xk=j}]²
=pj(1-pj)

Je pense que c'est juste mais si quelqu'un pouvait vérifier...

3)En déduire la loi de Zn(j), son espérance et sa variance.

P[Zn(j)=s]=(s parmi n)pj^s(1-pj)^(n-s) (loi binomiale)

E[Zn(j)]=npj

V[Zn(j)]= ?
Donc la j'ai un premier problème : comment calculer l'espérance de Zn(j)² ?
J'applique la formule classique mais je n'arrive pas à m'en sortir...

4) On me demande : les variables aléatoires Zn(j) et Zn(i) (n fixé, i et j distincts) sont elles indépendantes ? Donc là j'ai envie de dire non mais je n'arrive pas à le prouver, ni en montrant E(XY)=E(X)E(Y), ni en montrant P(X;Y)=P(X)P(Y) tout simplement car je ne vois pas comment calculer la loi de la variable aléatoire Zn(i)Zn(j).
Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait fort aimable...

Voilà c'est tout pour le moment !

Merci d'avance

P.S. : si quelqu'un peut me résumer comment montrer qu'un événement (ou une va) vérifie les hypothèses de la loi du 0_1 de kolmogorov, je suis toujours preneur !
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[invite57a1e779]

Donc Zn(j)=somme 1{Xk=j} pour k variant de 1 à n (le 1{Xk=j} désigne la fonction indicatrice qui vaut 1 lorsque Xk=j}

1) Montrer que pour tout j>=1, les v.a. (1{Xk=j}) pour k>=1 sont indépendantes équidistribuées.

Alors là ya un truc qui me chiffonne.
J'aurai tendance à montrer que P(1{Xu=j}=x;1{Xv=j}=y) (x et y à valeurs dans {0,1}) est égal au produit des deux probabilités.
Le problème est que je suis obligé de séparer les cas et je trouve ça assez lourd.
Du genre :

P(1{Xu=j}=0;1{Xv=j}=0)=P(Xu différent de j; Xv différent de j)=P(Xu différent de j)P(Xv différent de j)=P(1{Xu=j}=0)P(1{Xv=j}=0)

P(1{Xu=j}=1;1{Xv=j}=1)=P(Xu=j; Xv=j)=P(Xu=j)P(Xv=j)=P(1{Xu=j} =1)P(1{Xv=j}=1)

Reste encore les deux autres cas : (0,1) et (1,0) qui sont symétriques, donc on peut n'en faire qu'un seul.

Bon en gros ca me parait juste mais long alors je me demande si c'est la bonne méthode ou pas.

C'est un peu long... il n'y a que quatre cas à traîter !

2) Préciser leur loi commune, leur esperance et leur variance

P(1{Xk=j}=0)=1-pj
P(1{Xk=j}=1)=pj

E[1{Xk=j}]=pj

V(1{Xk=j})=E[1{Xk=j}2]-E[1{Xk=j}]2
=pj(1-pj)

Je pense que c'est juste mais si quelqu'un pouvait vérifier...

L'espérance et la variance d'une loi de Bernoulli sont des plus classiques... et tu as les bonnes valeurs.

3)En déduire la loi de Zn(j), son espérance et sa variance.

P[Zn(j)=s]=(s parmi n)pj^s(1-pj)^(n-s) (loi binomiale)

E[Zn(j)]=npj

V[Zn(j)]= ?
Donc la j'ai un premier problème : comment calculer l'espérance de Zn(j)2 ?
J'applique la formule classique mais je n'arrive pas à m'en sortir...

L'espérance d'une somme de v.a. est, dans tous les cas, la somme des espérances, donc ton résultat est exact.

La variance d'une somme de v.a. INDEPENDANTES est la somme des variances, donc ici V[Zn(j)] = npj(1-pj)

[invitebb921944]

C'est un peu long... il n'y a que quatre cas à traîter !

C'est ce que j'ai fait il me semble !
Les cas (0,0) (1,1) (0,1) (1,0)

La variance d'une somme de v.a. INDEPENDANTES est la somme des variances, donc ici V[Zn(j)] = npj(1-pj)

Ok ca simplifie bien

Sinon pas d'idée pour le calcul avec la v.a. Zn(j)Zn(i) ?

Merci beaucoup en tout cas !

[invite57a1e779]

C'est ce que j'ai fait il me semble !
Les cas (0,0) (1,1) (0,1) (1,0)

Ma réponse n'était pas un reproche, juste la remarque que ce n'est pas le bout du monde d'avoir 4 cas à traîter.

Sinon pas d'idée pour le calcul avec la v.a. Zn(j)Zn(i) ?

Que peut bien valoir P(Zn(j)=n ; Zn(i)=n) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Ah ok, 4 cas c'est bon alors, c'est juste que ca me paraissait bizarre !

Que peut bien valoir P(Zn(j)=n ; Zn(i)=n) ?

P(Zn(j)=k ; Zn(i)=s) plutôt non ?

Alors :

Je calcule pour un exemple favorable :
P(X1=j ; X2=j ; ... ; Xp=j ; Xp+1=i ; ... ; Xp+s=i ; Xp+s+1 différent de i et j ; ... ; Xn différent de i et j)
=pj^k*pi^s*(1-pi)^(n-(s+k))*(1-pj)^(n-(s+k))
C'est bon ça pour un seul cas ?

Alors maintenant j'ai un problème pour généraliser ça au cas général !
Je dois trouver le nombre de cas possibles.
Est-ce que c'est :
(k parmi n)*(s parmi n) ???
Je ne vois pas trop comment faire le dénombrement en fait...

En tout cas merci pour ton aide.

[invitebb921944]

Ok j'obtiens :


Est-ce que c'est bon ou j'ai pédalé dans la semoule ?

[invitea07f6506]

Non, non, c'est bien "Que peut bien valoir P(Zn(j)=n ; Zn(i)=n) ?"

Si Zn(i) et Zn(j) sont indépendantes, on a P(Zn(j)=k ; Zn(i)=s) = P(Zn(j)=k)*P(Zn(i)=s) pour tous k et s, et en particulier P(Zn(j)=n ; Zn(i)=n) = P(Zn(j)=n)*P(Zn(i)=n). Est-ce vérifié ?

[invitebb921944]

Non, non, c'est bien "Que peut bien valoir P(Zn(j)=n ; Zn(i)=n) ?"

Si Zn(i) et Zn(j) sont indépendantes, on a P(Zn(j)=k ; Zn(i)=s) = P(Zn(j)=k)*P(Zn(i)=s) pour tous k et s, et en particulier P(Zn(j)=n ; Zn(i)=n) = P(Zn(j)=n)*P(Zn(i)=n). Est-ce vérifié ?

Je comprends pas.
L'événement {Zn(j)=n et Zn(i)=n} n'existe pas, donc je vois pas trop comment on pourrait en déduire une probabilité.
Sa probabilité serait 0 alors ?
Donc elles ne sont pas indépendantes.
Ok en fait on calcul juste pour un contre exemple facile et on en déduit direct que c'est pas indépendant c'est ça ?

Sinon c'est pour la covariance que je bloque.
Puisque c'est pas indépendant, on peut pas dire E[Zn(i)Zn(j)]=E[Zn(i)]E[Zn(j)]

Donc en gros je calcule comme d'habitude et j'ai :

Somme(s.P[Zn(i)Zn(j)=s) pour s variant de 0 à n-1.
Alors la pour calculer cette probabilité...
Si je remplace par les sommes j'ai un produit de sommes, ca me parait assez fastidieux.
Si quelqu'un avait une piste...

Merci beaucoup pour vos réponses !

[invitebb921944]

Je me permets de le remonter une petite fois au cas ou !
Je ne demande pas grand chose, juste une toute petite piste pour le calcul de la probabilité de cette variable aléatoire produit...
Des idées même saugrenues sont les bienvenues ^^

[invitea07f6506]

Je comprends pas.
L'événement {Zn(j)=n et Zn(i)=n} n'existe pas, donc je vois pas trop comment on pourrait en déduire une probabilité.
Sa probabilité serait 0 alors ?
Donc elles ne sont pas indépendantes.
Ok en fait on calcul juste pour un contre exemple facile et on en déduit direct que c'est pas indépendant c'est ça ?

C'est ça !

Sinon, pourquoi veux-tu la calculer, cette covariance ? Tu as bien répondu à toutes les questions posées dans l'énoncé, non ?

[invitebb921944]

Parce qu'on me le demande après la question sur l'indépendance de ces deux v.a. :
Calculer leur covariance.

[invitea07f6506]

Sauf erreur de ma part, la covariance doit avoir cette tête-là :











Valà. Pas très compliqué, mais à trois heures du mat'

[invitebb921944]

Arf...
C'est disons un beau calcul mais... ça sort d'où tout ça ????
Merci pour tes réponses

[invite57a1e779]

Arf...
C'est disons un beau calcul mais... ça sort d'où tout ça ????
Merci pour tes réponses

Garf propose tout bêtement, me semble-t-il, un calcul direct de la covariance.

Tu peux toutefois utiliser la bilinéarité :

Alors
et n'est pas très difficile à calculer.

[invitebb921944]

Ah oui effectivement.
Mais j'ai encore un problème !

E[1{Xl=i;Xk=j}]=Somme(xP[1{Xl=i;Xk=j}=x]) pour x à valeurs dans {0,1}
=P[1{Xl=i;Xk=j}=1]=P[Xl=i;Xk=j]=pipj
Donc il doit y avoir un problème puisque je trouve une covariance nulle...

Ou est l'erreur ??

[invite57a1e779]

Ou est l'erreur ??

: jusque là ça va.

Tu cherches donc la probabilité pour que la balle n° l tombe dans le panier n° i et que la balle n° k tombe dans le panier n° j.
Si cette probabilité est effectivement , donc et , ce qui correpond bien au fait que les lancers sont indépendants.
Mais si , le lancer ne peut arriver simultanément dans les 2 paniers n° i et j : l'événement est impossible et sa probabilité est nulle. Donc et

Il subsiste donc

[invitebb921944]

C'est très fort merci beaucoup

[invite57a1e779]

C'est très fort

Non, ce n'est pas très fort, c'est juste que je réfléchis vraiment à la signification des objets que je manipule, et que je n'essaie pas de plaquer un truc tout prêt, vendu en kit, sur une situation qui n'est pas faite pour lui.

[invitebb921944]

J'ai failli me sentir agressé...